课时分层作业(十一) 直线的方程
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共108分
一、选择题
1．下列命题正确的个数是( )
①经过定点P的直线都可以用方程y－y0＝k表示；
②直线l过点P，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0；
③在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程＝1来表示；
④直线y＝ax－3a＋2必过定点．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．(多选题)关于直线l：x－y－1＝0，下列说法正确的有( )
A．过点 B．斜率为
C．倾斜角为60° D．在y轴上的截距为1
3．在直线l的方程y＝－中，ab>0，ac<0，则此直线必不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．直线l经过点A，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是( )
A． B．(－∞，－1)
C． D．
5．(多选题)直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的图象可能是( )
A B
C D
二、填空题
6．把直线l：＝0绕着l与x轴的交点逆时针旋转30°得到直线m，则直线m的一般式方程为______________．
7．直线l过点P(4，1)，直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则直线l的方程为________．
8．直线l过点P(－1，2)，分别与x，y轴交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则直线l的方程为________．
三、解答题
9．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
10．已知A(－3，8)和B(2，2)，在x轴上有一点M，使得|AM|＋|BM|为最小，那么点M的坐标为( )
A．(－1，0) B．(1，0)
C． D．
11．(多选题)已知直线l过点P，且与直线l1：x＋3y－9＝0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则( )
A．直线l的方程为x－3y＋3＝0
B．直线l与直线l1的倾斜角互补
C．直线l在y轴上的截距为2
D．这样的直线l有两条
12．已知光线从点A射出，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的点C，再被y轴反射，这时反射光线恰好经过点D，则CD所在直线的方程为________．
13．已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2，1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是________．
14．若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程．
15．已知直线l过定点P(－2，1)，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B，点O为坐标原点．
(1)若△AOB的面积为4，求直线l的方程；
(2)求|OA|＋|OB|的最小值，并求此时直线l的方程；
(3)求|PA|·|PB|的最小值，并求此时直线l的方程．
3/3课时分层作业(十一)
1．B [当直线过点P且与x轴垂直时，直线方程不能用y－y0＝k表示，故①错误；直线l过点P，倾斜角为90°，则直线方程可表示为x＝x0，故②正确；在坐标轴上截距相等的直线可能过原点，所以不一定能用＝1表示，故③错误；直线y＝ax－3a＋2可化为y＝a(x－3)＋2，故恒过定点(3，2)，故④正确．故选B．]
2．BC [对于直线l：x－y－1＝0，当x＝时，y＝2，故A错误；当x＝0时，y＝－1，即直线在y轴上的截距为－1，故D错误；
化直线方程为斜截式：y＝x－1，可得直线的斜率为，故B正确；
设其倾斜角为θ(0°≤θ<180°)，
则tan θ＝，θ＝60°，故C正确．]
3．C [由y＝－，ab>0，ac<0，知直线斜率k＝－<0，在y轴上截距为－>0，所以此直线必不经过第三象限，
故选C．]
4．B [设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k，直线在x轴上的截距为1－，令－3<1－<3，解不等式得k<－1或k>故选B．]
5．BC [直线l1：ax－y＋b＝0的斜率为a，在y轴上的截距为b，l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的斜率为－b，在y轴上的截距为a．
A中，直线l1的斜率a大于零，直线l2在y轴上的截距a小于零，矛盾，故排除A；
B中，直线l1的斜率a大于零，直线l2在y轴上的截距a大于零，
直线l1在y轴上的截距b大于零，l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的斜率为－b，小于零，故B满足题意；
C中，直线l1在y轴上的截距为b，大于零，l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的斜率为－b，小于零，直线l1的斜率a小于零，直线l2在y轴上的截距a小于零，故C满足题意；
D中，直线l1的斜率为a大于零，直线l2在y轴上的截距为a 小于零，矛盾，故排除D．
故选BC．]
6＝0 [直线l：，故直线l的倾斜角为30°，且与x轴的交点坐标为，故直线m的倾斜角为60°，且经过，其方程为y＝，即＝0．]
7．x－4y＝0或2x＋y－9＝0 [设直线l的方程为y－1＝k(x－4)(k≠0)，直线l在y轴上的截距为1－4k，在x轴上的截距为4－，故1－4k＝2，得k＝或k＝－2，故直线l的方程为y＝x或y＝－2x＋9，即x－4y＝0或2x＋y－9＝0．]
8．2x－y＋4＝0 [设A(a，0)，B(0，b)．
由P(－1，2)为AB的中点，
所以
由截距式得l的方程为＝1，即2x－y＋4＝0．]
9．(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2，1)．
(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)解：依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，所以A，B(0，1＋2k)．又－<0且1＋2k>0，所以k>0．
故S＝××(1＋2k)＝ ≥×＝4，当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．
10．B [找出点B关于x轴的对称点B'，连接AB'，与x轴交于M点，连接BM，此时|AM|＋|BM|为最小，由B与B'关于x轴对称，B(2，2)，所以B'(2，－2)．
又A(－3，8)，则直线AB'的方程为y＋2＝(x－2)，化简得y＝－2x＋2，令y＝0，解得x＝1，所以M(1，0)．故选B．]
11．AB [因为直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以l与l1的倾斜角互补，故B正确；由直线l1的斜率为－，知直线l的斜率为，因为直线l过点P，所以直线l的方程为y－2＝(x－3)，即l的方程为x－3y＋3＝0，故A正确；将x＝0代入l：x－3y＋3＝0得y＝1，所以l在y轴上的截距为1，故C错误；过点P的直线只有一条，故D错误．故选AB．]
12．x－2y＋4＝0[如图，由题设知点B在原点O的右侧，直线BC一定过A(6，1)关于x轴的对称点(6，－1)，且一定过D(4，4)关于y轴的对称点(－4，4)，
所以BC的方程为y－4＝(x＋4)，即x＋2y－4＝0．令x＝0，则y＝2，所以C，所以CD的方程为y＝x＋2，即x－2y＋4＝0．]
13．2x＋y＋1＝0 [把A(2，1)的坐标分别代入直线方程a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0，得2a1＋b1＋1＝0，2a2＋b2＋1＝0，所以2(a1－a2)＝b2－b1．过点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程是，所以y－b1＝－2(x－a1)，则2x＋y－(2a1＋b1)＝0．因为2a1＋b1＋1＝0，所以2a1＋b1＝－1，所以所求直线方程为2x＋y＋1＝0．]
14．解：由题意知直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0．若l在两坐标轴上的截距相等，设为a(a≠0)，则直线方程为＝1，即x＋y－a＝0．因为|a|·|a|＝18，即a2＝36，所以a＝±6，所以直线方程为x＋y±6＝0．若l在两坐标轴上的截距互为相反数，设在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为－a(a≠0)，故直线方程为＝1，即x－y－a＝0．因为|－a|·|a|＝18，即a2＝36，所以a＝±6，所以直线方程为x－y±6＝0．
综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0．
15．解：(1)设直线l：＝1，
由直线过P(－2，1)可得＝1，
又S△AOB＝|a||b|＝4，
由
所以直线l的方程为＝1，
即x－2y＋4＝0．
(2)设直线l：＝1，则A(a，0)，B(b，0)，
|OA|＋|OB|＝b－a＝(b－a)≥3＋2，
当且仅当时，即a＝－－2，b＝1＋时取等号，
此时直线方程为x－＝0．
(3)设直线l：＝1，因为A，P，B三点共线，且A(a，0)，B(0，b)，P(－2，1)，
即＝(－2－a，1)，＝(2，b－1)，所以|AP|·|PB|＝＝(－2－a，1)·(2，b－1)＝－2a＋b－5＝(－2a＋b)·≥4，
当且仅当－时，即a＝－3，b＝3时取等号，此时直线方程为x－y＋3＝0．
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