课时分层作业(十六) 直线与圆的位置关系
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共107分
一、选择题
1．(教材P115练习A T1改编)已知直线l：x－2y＋5＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，直线l与圆C的位置关系是( )
A．过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
2．已知点P是直线l：x＋y－3＝0上的动点，由点P向圆O：x2＋y2＝4作切线，则切线长的最小值为( )
A．2 B．
C． D．
3．(多选题)与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程有( )
A．x＋y＝0 B．x－y＝0
C．x＝0 D．x＋y＝4
4．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点C(－2，3)，则直线l的方程为( )
A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0
5．(多选题)在同一直角坐标系中，直线ax－y＋a＝0与圆(x＋a)2＋y2＝a2的位置可能是( )
A B C D
二、填空题
6．若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2＋(y－1)2＝1相切于点B，则|AB|＝________．
7．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则圆心坐标为____________________，四边形ABCD的面积为__________．
8．已知M(x，y)是圆x2＋y2＝1上任意一点，则的取值范围是________．
三、解答题
9．已知圆C的圆心在直线y＝－2x上，且过点(2，－1)，(0，－3)．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．
10．已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是( )
A．1＋ B．4
C．1＋3 D．7
11．已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝16，直线l：x＋y－3m＋1＝0，下列说法正确的是( )
A．直线l与圆C可能相切
B．圆C被y轴截得的弦长为
C．直线l恒过定点
D．直线l被圆C截得的弦长存在最小值，此时直线l的方程为x－2y－4＝0
12．若圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为________．
13．如图是一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________m．
14．平面直角坐标系中，已知圆C的圆心是，半径是1，直线l的方程为x－2y＋m＝0，点A．
(1)若l与圆C相切，求m的值；
(2)若l经过点A，求直线l与圆的交点的坐标；
(3)若过点A的直线l′截得圆C的弦长，求l′的斜率的取值范围．
15．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点．
(1)求四边形PACB面积的最小值；
(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
3/3课时分层作业(十六)
1．D [圆心(7，1)到直线l的距离d＝因为d所以直线l与圆C相交，把圆心(7，1)代入直线方程不成立，故不过圆心．]
2．C [由题意可知圆心O(0，0)，半径r＝2．分析知点P向圆O所作的切线长最小时，OP⊥l．圆心O到直线l的距离为，所以切线长的最小值为]
3．ABD [圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2．可分为两种情况讨论：
(1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，
则，解得k＝±1．
(2)直线在x，y轴上的截距均不为0，
则可设直线方程为＝1(a≠0)，
即x＋y－a＝0(a≠0)，则，
解得a＝4(a＝0舍去)．]
4．A [由圆的一般方程可得圆心O(－1，2)，由圆的性质易知O(－1，2)，C(－2，3)的连线与弦AB垂直，故有kAB·kOC＝－1 kAB＝1，故直线AB的方程为y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0．]
5．AD [圆(x＋a)2＋y2＝a2的圆心(－a，0)，半径为|a|，
由题意可得d＝，
不妨设<|a|，可得<1，即1－2a＋a2<1＋a2，当a>0时，恒成立，可知A正确，B不正确；
当a<0时，不等式不成立，说明直线与圆相离，但是直线的斜率为负数，所以C不正确，截距是负数，所以D正确．]
6 [设直线AB的方程为y＝x＋b，则点A(0，b)．
由于直线AB与圆x2＋(y－1)2＝1相切，且圆心为C(0，1)，半径为1，
则＝1，解得b＝－1或b＝3，
所以|AC|＝2．
因为|BC|＝1，故|AB|＝]
7．(1，3) 10 [圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，易知点E在圆内．由圆的性质可知最长弦|AC|＝2，最短弦BD恰以E(0，1)为中点，且与AC垂直，设点F为其圆心，坐标为(1，3)，
故|EF|＝，∴|BD|＝2，
∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝10]
8 [设＝k，则直线y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1有公共点，
所以≤1，即3k2≤1，
所以－≤k≤]
9．解：(1)圆C的圆心在直线y＝－2x上，设所求圆心坐标为(a，－2a)．设圆C：(x－a)2＋(y＋2a)2＝r2，
因为过点(2，－1)，(0，－3)，
所以
解得a＝1，r＝，
所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2．
(2)直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2．
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，
由于直线l被圆C截得的弦长为2，故圆心到直线l的距离为d＝1，
故由点到直线的距离公式得d＝＝1，解得k＝－，
所以直线l的方程为y＝－x．
综上所述，直线l的方程为x＝0或y＝－x．
10．C [将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆．设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最大值，此时＝3，解得z＝1±3，故z＝x－y的最大值为1＋3，故选C．]
11．D [C选项：将直线l的方程整理为m(2x＋y－3)＋(－x－y＋1)＝0，
由
则无论m为何值，直线l恒过定点A(2，－1)，故C选项错误．
A选项：∵圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝16，
∴圆心C，r＝4．
∵<4，即定点A在圆内，故直线l恒与圆有两个交点，故A选项错误．
B选项：令x＝0，则(y－1)2＝15，解得y＝1±，故圆C被y轴截得的弦长为2，故B选项错误．
D选项：当截得的弦长最短时，此时直线l垂直于圆心与定点的连线，则直线l的斜率为，此时直线l的方程为y＋1＝，即x－2y－4＝0，故D正确．
故选D．]
12．－ [易得圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴对称的是圆D：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，则圆D上存在点N在直线kx＋y＋3＝0上，所以直线kx＋y＋3＝0与圆D相切或相交时满足题意，即≤1，解得－≤k≤0，所以实数k的最小值为－]
13． [如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，设圆心为C，圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)．将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，
所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100．当水面下降1 m后，可设点A'(x0，－3)(x0>0)，将A'(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝，所以当水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2m．]
14．解：(1)圆C的方程为x2＋(y－1)2＝1．
由题意知，圆心C到直线l的距离d＝＝1，
解得m＝2＋
(2)若直线l过点A，则m＝1，直线l的方程为x－2y＋1＝0，
联立直线l与圆C的方程
解得
即交点坐标分别为
(3)设直线l'斜率为k，则直线l'的方程为y＝k，即kx－y＋k＝0．
设圆心C到直线l'的距离为d'，有＝1，
因为≥，所以d'≤，
即d'＝≤，解得≤k≤，
故l'的斜率的取值范围是
15．解：(1)(法一)如图，连接BC，PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为
化简圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0为(x－1)2＋(y－1)2＝1，故C(1，1)，|AC|＝1，
所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|×|AC|＝|AP|．
因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，
所以当|PC|2最小时，|AP|最小．
因为|PC|2＝(1－x)2＋＋9，
所以当x＝－时，|PC＝9，
所以|AP|min＝，
即四边形PACB面积的最小值为2
(法二)化简圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0有(x－1)2＋(y－1)2＝1，故C(1，1)，|AC|＝1．
又S四边形PACB＝2S△PAC＝2×|AC|·|AP|＝|AC|·，故当|CP|最小时四边形PACB面积最小，此时|CP|为C到直线的3x＋4y＋8＝0的距离，|CP|＝＝3，此时最小面积为S四边形PACB＝
(2)由(1)知圆心C到P点的距离|PC|＝3是C到直线上的最小值，若∠BPA＝60°易得|PC|＝2，这是不可能的，所以这样的点P是不存在的．
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