课时分层作业(十七) 圆与圆的位置关系
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共108分
一、选择题
1．(教材P120练习A T2改编)圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的位置关系为( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．内含
2．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
3．已知圆C1：x2＋y2－m＝0，圆C2：x2＋y2＋6x－8y－11＝0，若圆C1与圆C2有公共点，则实数m的取值范围是( )
A．m<1 B．m>121
C．1≤m≤121 D．14．过圆x2＋y2＝4外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆方程是( )
A．(x－4)2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y－2)2＝4
C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
D．(x－2)2＋(y－1)2＝5
5．(多选题)点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则( )
A．|PQ|的最小值为3
B．|PQ|的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为－
D．两个圆相交
二、填空题
6．过原点O作圆x2＋y2－4x－8y＋16＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则直线PQ的方程为__________．
7．写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程______________．
8．已知直线y＝kx＋b(k＞0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝______，b＝__________________．
三、解答题
9．已知圆O：x2＋y2＝1与圆C：x2＋y2－6x－8y＋2a＋5＝0．
(1)若圆O与圆C相切，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，直线x＋y－3＝0与圆C交于A，B两点，求弦|AB|的长．
10．(多选题)已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则( )
A．两圆的圆心距|O1O2|＝2
B．直线AB的方程为x－y＋1＝0
C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|＞|AB|
D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋
11．(多选题)已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝2，圆C2：(x－2)2＋(y－3)2＝2，M，N分别为圆C1，C2上的动点，P为直线l：x－y＋4＝0上的动点，则下列结论正确的是( )
A．圆C1与圆C2相切
B．圆心C1，C2到直线l的距离相等
C．|MN|的最小值为2
D．|PM|的最小值为
12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
13．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则实数m＝________，线段AB的长度为________．
14．在①圆心C在直线l：2x－7y＋8＝0上，B(1，5)是圆C上的点；②圆C过直线s：2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－16＝0的交点，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．
问题：已知在平面直角坐标系xOy中，圆C过点A(6，0)，且________．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求过点A的圆C的切线方程．
15．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2＋y2－4x＝0，C2：x2＋y2＋4x＋3＝0，及点A(－1，0)和B(1，2)．
(1)求圆C1和圆C2公切线段的长度．
(2)在圆C1上是否存在点P，使得PA2＋PB2＝12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．
3/3课时分层作业(十七)
1．B [圆x2＋y2＝4的圆心坐标为(0，0)，半径为2，圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心坐标为(1，－2)，半径为3，两圆的圆心距为，半径和为5，半径差的绝对值为1，因为1<<5，所以两圆相交．]
2．B [由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2，解得a＝2．圆M与圆N的圆心距|MN|＝，圆M的半径R＝2，圆N的半径r＝1，由R－r<|MN|3．C [圆C1的方程可化为x2＋y2＝m(m>0)，则圆心为C1(0，0)，半径r1＝；圆C2的方程可化为(x＋3)2＋(y－4)2＝36，则圆心为C2(－3，4)，半径r2＝6．
因为圆C1与圆C2有公共点，所以|r1－r2|≤|C1C2|≤r1＋r2，
即|－6|≤≤＋6，
所以解得1≤m≤121．]
4．D [由圆x2＋y2＝4，得到圆心O坐标为(0，0)，所以△ABP的外接圆为四边形OAPB的外接圆．又P(4，2)，所以外接圆的直径为|OP|＝，半径为，外接圆的圆心为线段OP的中点是，即(2，1)，则△ABP的外接圆方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5．]
5．ABC [根据题意，圆C1：x2＋y2＝1，其圆心C1(0，0)，半径R＝1，圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0，即(x－3)2＋(y＋4)2＝1，其圆心C2(3，－4)，半径r＝1，圆心距|C1C2|＝＝5>R＋r，故两圆外离，故D错误；则|PQ|的最小值为|C1C2|－R－r＝3，最大值为|C1C2|＋R＋r＝7，故A，B正确；对于C，两个圆心所在的直线斜率k＝，故C正确．故选ABC． ]
6．x＋2y－8＝0 [把圆的方程化成标准方程(x－2)2＋(y－4)2＝4，
所以圆心为(2，4)，半径为2．圆心到原点的距离为，所以切线长为＝4，所以P，Q在以(0，0)为圆心，以4为半径的圆上，方程为x2＋y2＝16．
由
得x＋2y－8＝0，这就是PQ所在直线的方程．]
7．y＝－或x＝－1(写出一个即可) [圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3，4)，半径为4，
两圆圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图．
当切线为l时，因为，设方程为y＝－x＋t(t>0)，
O到l的距离d＝＝1，解得t＝，所以l的方程为y＝－
当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p>0，k<0，
由题意
解得
当切线为n时，易知切线方程为x＝－1．
故所求方程为y＝－或x＝－1．]
8 [(法一)因为直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1，圆(x－4)2＋y2＝1都相切，所以＝1，得k＝，b＝－
(法二)因为直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1，圆(x－4)2＋y2＝1都相切，所以直线y＝kx＋b必过两圆心连线的中点(2，0)，所以2k＋b＝0．设直线y＝kx＋b的倾斜角为θ，则sin θ＝又k>0，所以θ＝，所以k＝tan ，b＝－2k＝－]
9．解：(1)圆O：x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为r1＝1；
对于圆C，(－6)2＋(－8)2－4(2a＋5)＝80－8a>0，a<10，
圆心为C(3，4)，半径r2＝，|OC|＝＝5．
当圆O与圆C外切时，|OC|＝r1＋r2，5＝1＋，a＝2；
当圆O与圆C内切时，依题意可知|OC|＝r2－r1，5＝－1，a＝－8．
(2)当a＝2时，圆C的圆心为C(3，4)，半径r2＝4，
C(3，4)到直线x＋y－3＝0的距离为，
所以|AB|＝2
当a＝－8时，圆C的圆心为C(3，4)，半径r2＝6，
C(3，4)到直线x＋y－3＝0的距离为，
所以|AB|＝2
10．BD [由圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0，
可得圆O1：(x－1)2＋y2＝4和圆O2：x2＋(y－1)2＝2，
则圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径为2，圆O2的圆心坐标为(0，1)，半径为
对于A，因为两个圆相交，所以两圆的圆心距|O1O2|＝，故A错误；
对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，故B正确；
对于C，直线AB经过圆O2的圆心坐标(0，1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误；
对于D，圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径为2，圆心到直线AB：x－y＋1＝0的距离为，所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋，故D正确．故选BD．]
11．BD [对于A选项，圆C1的圆心为C1(－1，0)，半径为r1＝，圆C2的圆心为C2(2，3)，半径为r2＝，
因为|C1C2|＝>r1＋r2，故两圆外离，A错误；
对于B选项，圆心C1到直线l的距离为
d1＝，
圆心C2到直线l的距离d2＝，B正确；
对于C选项，|MN|min＝|C1C2|－r1－r2＝，C错误；
对于D选项，因为d1>r1，则直线l与圆C1相离，则|PM|min＝d1－r1＝，D正确．故选BD．]
12 [圆C：(x－4)2＋y2＝1，如图，要满足直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需保证圆心C到y＝kx－2的距离小于或等于2，即≤2，解得0≤k≤，所以kmax＝]
13．±5 4 [如图所示，在Rt△OO1A中，
由已知条件知|OA|＝，|O1A|＝2，所以|OO1|＝＝5，所以当圆O1在y轴右侧时，m＝5，
当圆O1在y轴左侧时，m＝－5，所以m＝±5．
又AB⊥OO1，所以|AC|＝＝2．故|AB|＝4．]
14．解：若选①：(1)由A(6，0)，B(1，5)，则线段AB的中点D
∵直线AB的斜率kAB＝＝－1，∴线段AB的中垂线的斜率k＝－＝1，则该中垂线的直线方程为y－，整理可得x－y－1＝0，
联立则圆心C(3，2)，半径r＝，
故圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13．
(2)由(1)可得，圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13，则圆心C(3，2)，
直线AC的斜率kAC＝，则过点A的圆C的切线的斜率k'＝，
即切线方程y＝(x－6)，整理可得3x－2y－18＝0．
若选②：(1)设圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意可知，直线s：2x＋y＋4＝0是圆C与圆x2＋y2＋2x－4y－16＝0的公共弦所在的直线的直线方程，
联立
作差可得(D－2)x＋(E＋4)y＋F＋16＝0，
则
即整理可得圆C：x2＋y2＋(2λ＋2)x＋(λ－4)y＋4λ－16＝0，将A(6，0)代入，可得36＋6(2λ＋2)＋4λ－16＝0，解得λ＝－2，
故圆C：x2＋y2－2x－6y－24＝0．
(2)由(1)可得圆C：x2＋y2－2x－6y－24＝0，整理可得(x－1)2＋(y－3)2＝34，
则圆心C(1，3)，直线AC的斜率kAC＝，则过点A的圆C的切线的斜率k'＝，即切线方程y＝(x－6)，整理可得5x－3y－30＝0．
15．解：(1)圆C1：x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4，C1(2，0)，r1＝2，
圆C2：x2＋y2＋4x＋3＝0，即(x＋2)2＋y2＝1，C2(－2，0)，r2＝1，
圆心距为4>r1＋r2，故两圆外离，共有4条公切线段，两两长度相同．
当两圆在公切线同侧时，
l1＝
当两圆在公切线异侧时，
l2＝
综上所述，公切线段长为
(2)假设存在P(x，y)满足条件，即(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，
化简得到x2＋(y－1)2＝4，圆心为C3(0，1)，半径r3＝2．
又r1－r3<|C1 C3|＝1/6
