2.3 电势差 学案

第3讲　电势差
[目标定位]　1.理解电势差，了解电势差与电场力做功之间的关系，会用公式W＝qUAB进行有关的计算.2.了解电势差与电场强度之间的关系，会用公式E＝进行有关的计算.3.了解示波管的工作原理．
一、电势差与电场力做功
1．电势差：电场中两点电势的差值叫做电势差；设A点电势为φA，B点电势为φB，则A、B两点的电势差UAB＝φA－φB；电势差在电路中也称为电压，用符号U表示．
2．电场力做功与电势差的关系：WAB＝qUAB，电势差的单位是V.
3．在研究原子、原子核的时候，常用电子伏特做能量单位，1eV＝1.60×10－19_J.
二、电场强度与电势差的关系
在匀强电场中，电场强度等于沿场强方向单位距离上的电势差，即E＝，E是匀强电场的场强，d是沿电场强度方向的距离，上式说明电场强度的单位可以为V/m.
想一想　电场中A、B两点间的电势差大，那么两点间场强一定大吗？
答案　场强是指沿电场线方向每单位距离上的电势差，A、B两点间的距离不清楚，所以两点间场强不能确定大小关系．
三、示波管的工作原理
1．示波器的构成：主要由电子枪、偏转板和荧光屏组成．
2．工作原理：电子在加速电场中被加速，在偏转电场中发生偏转，飞出平行金属板后做匀速直线运动．
想一想　示波管两对偏转电极要是都不加电压，荧光屏上会出现什么图象？若只加竖直方向上的恒定电压，荧光屏上会出现什么图象？
答案　两个偏转电极都不加偏转电压，则电子不会进行偏转，所以会打在荧光屏的中心形成一个亮斑；若只加竖直方向上的恒定电压，则电子在竖直方向上偏转，且偏转距离相同，在荧光y轴上出现一个亮斑.
一、电势差与电场力做功
1．电势差与电势的关系
(1)讲到电势差时，必须指明是哪两点间的电势差，A、B间的电势差记为UAB,
B、A间的电势差记为UBA.
(2)电势差的正负表示电场中两点电势的相对高低，若UAB＞0，则φA＞φB；若UAB＜0，则φA＜φB.
(3)电场中两点间的电势差与电势零点的选取无关．
2．对公式WAB＝qUAB或UAB＝的理解
(1)
UAB＝可以看成电势差的定义式，是按比值法定义的物理量．电势差UAB由电场本身决定，与q、WAB无关．
(2)在一般的计算中，各物理量都要带入符号，即WAB、UAB、q均可正可负，其中WAB取正号表示从A点移动到B点时静电力做正功，WAB取负号表示从A点移动到B点时静电力做负功，做负功时也可以说成电荷克服电场力做了功．
(3)注意：用公式WAB＝qUAB或UAB＝计算时W与U的角标要对应．
例1　在电场中把一个电荷量为－6×10－8C的点电荷从A点移到B点，电场力做功为－3×10－5J，将此电荷从B点移到C点，电场力做功4.5×10－5J，求A点与C点间的电势差．
答案　－250V
解析　求解电势差可有两种方法：一种是电场力做的功与电荷量的比值，另一种是两点间电势的差值．
法一　把电荷从A移到C电场力做功
WAC＝WAB＋WBC
＝(－3×10－5＋4.5×10－5)
J
＝1.5×10－5J.
则A、C间的电势差
UAC＝＝V＝－250V.
法二　UAB＝＝V＝500V.
UBC＝＝V＝－750V.
则UAC＝UAB＋UBC＝(500－750)V＝－250V.
借题发挥　(1)电场力做功与路径无关，只与始、末两点的位置有关，故WAC＝WAB＋WBC.(2)在利用公式UAB＝进行有关计算时，有两种处理方案，方案一：各量均带正负号运算．但代表的意义不同．WAB的正、负号表示正、负功；q的正、负号表示电性，UAB的正、负号反映φA、φB的高低．计算时W与U的角标要对应，即WAB＝qUAB，WBA＝qUBA.方案二：绝对值代入法．W、q、U均代入绝对值，然后再结合题意判断电势的高低．
二、电场强度与电势差的关系
1．公式U＝Ed和E＝只适用于匀强电场的定量计算，其中d为A、B两点沿电场方向的距离．
2．电场中A、B两点的电势差U跟电荷移动的路径无关，由电场强度E及A、B两点沿电场方向的距离d决定．
3．E＝说明电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势，且场强方向就是电势降低最快的方向．
4．在非匀强电场中，公式E＝可用来定性分析问题，由E＝可以得出结论：在等差等势面越密的地方场强就越大，如图1甲所示．再如图乙所示，a、b、c为某条电场线上的三个点，且距离ab＝bc，由于电场线越密的地方电场强度越大，故Uab＜Ubc.
图1
例2　如图2所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ.若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100V/m，则O、P两点的电势差可表示为(　　)
图2
A．UOP＝－10sinθ(V)
B．UOP＝10sinθ(V)
C．UOP＝－10cosθ(V)
D．UOP＝10cosθ(V)
答案　A
解析　在匀强电场中，UOP＝－E·Rsinθ＝－10sinθ(V)，故A对．
借题发挥　正确理解公式U＝Ed或E＝各量的物理含义，特别是d的物理意义，是分析场强与电势差关系的关键．
例3　如图3所示，MN板间匀强电场E＝2.4×104N/C，方向竖直向上．场上A、B两点相距10cm，AB连线与电场方向夹角θ＝60°，A点和M板相距2cm，
图3
(1)此时UBA等于多少；
(2)一点电荷Q＝5×10－8C，它在A、B两点电势能差为多少；若M板接地，A点电势是多少；B点电势是多少．
答案　(1)－1200V　(2)6×10－5J　－480V
－1680V
解析　在匀强电场中等势面与电场线垂直，且φA大于φB，所以UBA＝φB－φA为负值．又因为在匀强电场中E＝，则UAB＝E·dAB.
已知AB与电场线夹角60°，则AB与等势面夹角30°，dAB＝sAB·sin30°＝sAB＝5cm＝0.05m，
UAB＝2.4×104×0.05V＝1200V
即UBA＝－UAB＝－1200V.
正电荷在电势高处电势能大，电势能差为：
ΔEp＝EpA－EpB＝QUAB＝5×10－8×1200J＝6×10－5J
若M板接地，M板电势为0，A点电势比零低，UMA＝φM－φA＝EdMA＝480V，
则φA＝－480V，φB＝－480V－1200V＝－1680V.
三、示波管的工作原理
1．偏转板不加电压时：从电子枪射出的电子将沿直线运动，射到荧光屏的中心点形成一个亮斑．
2．在XX′(或YY′)加电压时：若所加电压稳定，则电子被加速，偏转后射到XX′(或YY′)所在直线上某一点，形成一个亮斑(不在中心)．
3．示波管实际工作时，竖直偏转板和水平偏转板都加上电压．一般地，加在竖直偏转板上的电压是要研究的信号电压，加在水平偏转板上的电压是扫描电压，若两者周期相同，在荧光屏上就会显示出信号电压在一个周期内随时间变化的波形图．
例4　示波管原理图如图4所示，当两偏转板XX′、YY′电压为零时，电子枪发射出的电子经加速电压加速后会打在荧光屏上的正中间(图示坐标的O点，其中x轴与XX′电场场强方向重合，x轴正方向垂直纸面指向纸内，y轴与YY′电场场强方向重合)．若要电子打在图示坐标的第Ⅲ象限，则(　　)
图4
A．X、Y极接电源的正极，X′、Y′接电源的负极
B．X、Y′极接电源的正极，X′、Y接电源的负极
C．X′、Y极接电源的正极，X、Y′接电源的负极
D．X′、Y′极接电源的正极，X、Y接电源的负极
答案　D
解析　将粒子的运动沿着x、y和初速度方向进行正交分解，沿初速度方向不受外力，做匀速直线运动；打在第三象限，故经过YY′区间时电场力向下，即Y接负极；打在第三象限，故经过XX′区间时电场力向外，即X接负极；故选D.
电势差与电场力做功
1．有一带电荷量q＝－3×10－6C的点电荷，从电场中的A点移到B点时，克服电场力做功6×10－4J．从B点移到C点电场力做功9×10－4J.
(1)AB、BC、CA间电势差各为多少；
(2)如以B点电势为零，则A、C两点的电势各为多少；
电荷在A、C两点的电势能各为多少．
答案　(1)UAB＝200V　UBC＝－300V　UCA＝100V
(2)φA＝200V　φC＝300V　EpA＝－6×10－4J
EpC＝－9×10－4J
解析　电荷由A移到B克服电场力做功即电场力做负功，WAB＝－6×10－4J.
UAB＝＝V＝200V.
UBC＝＝V＝－300V.
UCA＝－(UAB＋UBC)＝100V.
(2)若φB＝0，由UAB＝φA－φB，得φA＝UAB＝200V.
由UBC＝φB－φC得
φC＝φB－UBC＝0－(－300)
V＝300V.
电荷在A点的电势能
EpA＝qφA＝－3×10－6×200J＝－6×10－4J.
电荷在C点的电势能
EpC＝qφC＝－3×10－6×300J＝－9×10－4J.
对电场强度与电势差的关系理解
2．如图5所示，a、b、c是一条电场线上的三个点，电场线的方向由a至c，a、b间的距离等于b、c间的距离，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，可以断定(　　)
图5
A．Ea＞Eb＞Ec
B．φa＞φb＞φc
C．φa－φb＝φb－φc
D．Ea＝Eb＝Ec
答案　B
解析　由“沿着电场线的方向，电势越来越低”知：φa＞φb＞φc，断定选项B对；因这一电场线不能肯定就是匀强电场中的电场线，故选项C、D不能断定是否正确；这一电场线也不能断定就是正点电荷形成的电场中的一条电场线，故选项A不能断定是否正确．正确答案为选项B.
3．如图6所示，匀强电场的电场强度E＝100V/m，A、B两点相距0.1m，A、B连线与电场线的夹角θ＝60°，则A、B两点的电势差为________．
图6
答案　5V
解析　沿电场强度方向上的投影的长度：
d＝cosθ＝0.1×cos60°m＝0.05m，
UAB＝Ed＝100×0.05V＝5V.
题组一　电势　电势差与电场力做功
1．下列说法正确的是(　　)
A．电势差与电势一样，是相对量，与零点的选取有关
B．电势差是一个标量，但是有正值和负值之分
C．由于电场力做功跟移动电荷的路径无关，所以电势差也跟移动电荷的路径无关，只跟这两点的位置有关
D．A、B两点的电势差是恒定的，不随零电势点的不同而改变，所以UAB＝UBA
答案　BC
解析　电势具有相对性、与零点的选择有关．而电势差是标量，有正、负之分，但大小与零点的选择无关．故A错误，B正确；由于UAB＝φA－φB，UBA＝φB－φA故UAB＝－UBA，故D错误；电势差为电场中两点电势之差，与移动电荷的路径无关，故C正确．
2．在某电场中，A、B两点间的电势差UAB＝60V，B、C两点间的电势差UBC＝－50V，则A、B、C三点电势高低关系是(　　)
A．φA＞φB＞φC
B．φA＜φC＜φB
C．φA＞φC＞φB
D．φC＞φB＞φA
答案　C
解析　因为UAB＝φA－φB＝60V＞0，所以φA＞φB，又UBC＝φB－φC＝－50V＜0，所以φB＜φC，又UAC＝UAB＋UBC＝60V＋(－50V)＝10V＞0，所以φA＞φC，故φA＞φC＞φB.正确选项为C.
3．如图1所示为一个点电荷电场的电场线(实线)和等势线(虚线)，两相邻等势线间的电势差为4V，有一个带电荷量为q＝1.0×10－8C的负电荷从A点沿不规则曲线移到B点，静电力做功为________J.
图1
答案　－4.0×10－8
解析　WAB＝qUAB＝－1.0×10－8×4J
＝－4.0×10－8J.
题组二　对公式U＝Ed和E＝的理解与应用
4．对公式E＝的理解，下列说法正确的是(　　)
A．此公式适用于计算任何电场中a、b两点间的电势差
B．a点和b点间距离越大，则这两点的电势差越大
C．公式中d是指a点和b点之间的距离
D．公式中的d是a、b两个等势面间的垂直距离
答案　D
解析　公式E＝只适用于匀强电场，A错，公式中的d是a、b两个等势面间的垂直距离，a点和b点间距离大，等势面间的垂直距离不一定大，故B、C错，D正确．
5．如图2所示，A、B两点相距10cm，E＝100V/m，AB与电场线方向的夹角θ＝120°，则A、B两点间的电势差为(　　)
图2
A．5V
B．－5V
C．10V
D．－10V
答案　B
解析　A、B两点在场强方向上的距离d＝AB·cos
(180°－120°)＝10×cm＝5cm.由于φA＜φB，则根据U＝Ed得UAB＝－Ed＝－100×5×10－2V＝－5V.
6．如图3所示，三个同心圆是一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径成等差数列．A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上．A、C两点的电势依次为φA＝10V和φC＝2V，则B点的电势是(　　)
图3
A．一定等于6V
B．一定低于6V
C．一定高于6V
D．无法确定
答案　B
解析　从等势面的疏密可以看出EA＞EB＞EC，又AB＝BC，由公式U＝Ed可以判断UAB＞UBC，所以φB＜6V.
7．如图4所示，匀强电场的场强大小为1×103N/C，ab、dc与电场方向平行，bc、ad与电场方向垂直，ab＝dc＝4cm，bc＝ad＝3cm，则下述计算结果正确的是(　　)
图4
A．a、b之间的电势差为4000V
B．a、c之间的电势差为50V
C．将q＝－5×10－3C的点电荷沿矩形路径abcda移动一周，静电力做的功为零
D．将q＝－5×10－3C的点电荷沿abc或adc从a移动到c，静电力做的功都是－0.25J
答案　C
解析　Uab＝E·＝1×103×0.04V＝40V，选项A错误；Uac＝Uab＝40V，选项B错误；将负点电荷移动一周，电势差为零，静电力做功为零，故选项C正确；Wac＝qUac＝－5×10－3×40J＝－0.2J，选项D错误．
题组三　对示波管工作原理的考查
8．如图5是示波管的原理图．它由电子枪、偏转板(XX′和YY′)、荧光屏组成，管内抽成真空．给电子枪通电后，如果在偏转板XX′和YY′上都没有加电压，电子束将打在荧光屏的中心O点．
图5
(1)带电粒子在________区域是加速的，在________区域是偏转的．
(2)若UYY′＞0，UXX′＝0，则粒子向________板偏移，若UYY′＝0，UXX′＞0，则粒子向________板偏移．
答案　(1)Ⅰ　Ⅱ　(2)Y　X
9．示波管是示波器的核心部件，它由电子枪、偏转板和荧光屏组成，如图6所示．如果电子打在荧光屏上，在P点出现一个稳定的亮斑，那么示波管中的(　　)
图6
A．极板Y应带正电
B．极板Y′应带正电
C．极板XX′上应加一个与时间成正比的电压
D．极板XX′上应加一个恒定不变的电压
答案　AD
解析　电子受力方向与电场方向相反，因电子向X方向偏转，则电场方向为X到X′，则X带正电，即极板X的电势高于极板X′.同理可知Y带正电，即极板Y的电势高于极板Y′，故A正确，B错误；如果在水平偏转电极上加上随时间均匀变化的电压，则电子因受偏转电场的作用，打在荧光屏上的亮点便沿水平方向匀速移动，故C错误，D正确．故选：AD.
题组四　综合应用
10．一个带正电的质点，电荷量q＝2.0×10－9C，在静电场中由a点移到b点，在这过程中，除电场力外，其他力做的功为6.0×10－5J，质点的动能增加了8.0×10－5J，则a、b两点间电势差φa－φb为(　　)
A．3.0×104V
B．1.0×104V
C．3.0×104V
D．－1.0×104V
答案　B
解析　在a点移到b过程有动能定理Wab＋W其他＝ΔEk
得a到b电场力所做的功Wab＝2.0×10－5J，
则φa－φb＝Uab＝＝V＝1.0×104V.
11．如图7所示，三条曲线表示三条等势线，其电势φC＝0，φA＝φB＝10V，φD＝－30V，将电荷量q＝1.2×10－6C的正电荷在该电场中移动．
图7
(1)把这个电荷从C移到D，电场力做功多少；
(2)把这个电荷从D移到B再移到A，电势能变化多少．
答案　见解析
解析　(1)UCD＝φC－φD＝30V
WCD＝qUCD＝1.2×10－6×30J
＝3.6×10－5J
(2)UDA＝φD－φA＝(－30－10)
V＝－40V
WDA＝qUDA＝1.2×10－6×(－40)
J
＝－4.8×10－5J
所以电势能应该增加4.8×10－5J.
12．如图8所示，一簇平行线为未知方向的匀强电场的电场线，沿与此平行线成60°角的方向，把2×10－6C的负电荷从A点移到B点，电场力做功为4×10－6J．已知A、B间距为2cm，求解下列问题：
图8
(1)在图上用箭头标出电场强度方向；
(2)AB间的电势差UAB；
(3)匀强电场的场强E的大小．
答案　(1)电场方向如图　(2)－2V　(3)200V/m
解析　(1)电场强度方向如图所示．
(2)AB间电势差UAB＝＝V＝－2V.
(3)电场强度E＝＝200V/m.
13．如图9所示，P、Q两金属板间的电势差为50V，板间存在匀强电场，方向水平向左，板间的距离d＝10cm，其中Q板接地，两板间的A点距P板4cm.求：
图9
(1)P板及A点的电势；
(2)保持两板间的电势差不变，而将Q板向左平移5cm，则A点的电势将变为多少．
答案　(1)－50V　－30V　(2)－10V
解析　板间场强方向水平向左，可见Q板是电势最高处．Q板接地，则电势φQ＝0，板间各点电势均为负值．利用公式E＝可求出板间匀强电场的场强，再由U＝Ed可求出各点与Q板间的电势差，即各点的电势值．
(1)场强E＝＝V·m－1＝5×102V·m－1
Q、A间电势差UQA＝Ed′＝5×102×(10－4)×10－2V＝30V
所以A点电势φA＝－30V，
P点电势φP＝UPQ＝－50V.
(2)当Q板向左平移5cm时
两板间距离d′＝(10－5)
cm＝5cm
Q板与A点间距离变为d″＝(10－4)
cm－5cm＝1cm
电场强度E′＝＝V·m－1
＝1.0×103V·m－1
Q、A间电势差UQA＝E′d″＝1.0×10－3×1.0×10－2V＝10V
所以A点电势φA＝－10V．