课时分层作业(十九) 椭圆的标准方程
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共107分
一、选择题
1．已知椭圆方程为x2＋ky2＝5的一个焦点是(0，2)，那么k＝( )
A． B． C．1 D．
2．已知F1，F2分别是椭圆C：＝( )
A． B． C．1 D．2
3．若动点M(x，y)满足方程＝10，则动点M的轨迹方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
4．已知椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆上，若|MF1|＝4，则∠F1MF2＝( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
5．(多选题)设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹可能是( )
A．圆 B．线段
C．椭圆 D．直线
二、填空题
6．已知椭圆＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的标准方程为________．
7．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1，P2，则椭圆的标准方程为________．
8．设F1，F2为椭圆＋y2＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为________．
三、解答题
9．一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
10．(多选题)已知P是椭圆E：＝1上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是( )
A．点P的纵坐标为3
B．∠F1PF2＞
C．△F1PF2的周长为4
D．△F1PF2的内切圆半径为
11．已知直线mx－y＋m＝0与x＋my－＝0(m∈R)交于点P，若A，B，则使点P到A，B两点距离之和等于4的m的值有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
12．已知椭圆C的对称中心为原点O，M为椭圆C上一动点，F1为椭圆C的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹的形状是________．
13．已知A(－1，0)，C(1，0)是椭圆C的两个焦点，过C且垂直于x轴的直线交椭圆于M，N两点，且|MN|＝3，则椭圆的方程为________，若B是椭圆上一点，则△ABC的最大面积为________．
14．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上，且由焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到焦点F2．已知BF1⊥F1F2，|F1B|＝＝4．透明窗DE所在的直线与截口BAC所在的椭圆交于点P，且∠F1PF2＝60°．
(1)试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在的椭圆的标准方程；
(2)求△F1PF2的面积．
15．已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，求椭圆C的标准方程．
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1．A [椭圆x2＋ky2＝5即＝1，∵焦点坐标为(0，2)，∴a2＝，b2＝5，c2＝4．又c2＝a2－b2，∴－5＝4，∴k＝，故选A．]
2．B [由|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|＝2|PF2|，得|PF1|＝，|PF2|＝，所以|PF1|－|PF2|＝．]
3．B [依题意，动点M(x，y)到两定点(2，0)，(－2，0)的距离之和等于常数10，且10>4，所以其轨迹为椭圆，且2a＝10，c＝2，b2＝21，故方程为＝1．]
4．C [由题意，椭圆方程＝1，可得a＝3，b＝，c＝，
所以焦点F1(－，0)，F2(，0)．
又由椭圆的定义，可得|MF1|＋|MF2|＝2a＝6，因为|MF1|＝4，所以|MF2|＝2．
在△F1MF2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|·cos∠F1MF2，
所以(2)2＝42＋22－2×4×2cos ∠F1MF2，解得cos ∠F1MF2 ＝－．
又由0°<∠F1MF2<180°，所以∠F1MF2＝120°．]
5．BC [由题意知，定点F1(0，－3)，F2(0，3)，可得|F1F2|＝6，
因为a>0，可得|PF1|＋|PF2|＝a＋＝6，当且仅当a＝，即a＝3时等号成立．
当a＋＝6时，可得|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，此时点P的轨迹是线段F1F2；
当a＋>6时，可得|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，此时点P的轨迹是椭圆．]
6．＝1 [由题意可得＝1．]
7．＝1 [设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．
∵椭圆经过点P1，P2，
∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程．
则
∴所求椭圆的标准方程为＝1．]
8． [∵线段PF1的中点在y轴上，∴PF2⊥x轴，∴|PF2|＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝4－，∴．]
9．解：将定圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，
∴圆心坐标为B(－2，0)，半径为6，如图．
由于动圆M与已知圆B相内切，设切点为C，
∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC|－|MC|＝|BM|．
而|BC|＝6，|CM|＝|AM|，
∴|BM|＋|AM|＝6．
根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2，0)和点A(2，0)为焦点的椭圆，且2a＝6，∴a＝3，c＝2，b＝，
∴所求圆心的轨迹方程为＝1．
10．CD [因为c＝＝2，所以|F1F2|＝2c＝4．又△F1PF2的面积为3，所以△F1PF2的边F1F2上的高为，即点P的纵坐标为，故A错误．由焦点三角形面积公式可得4tan＝3，所以tan<1，故∠F1PF2<，故B错误．△F1PF2的周长等于2a＋2c＝4(＋1)，故C正确．设内切圆半径为r，则有×(4＋4)r＝3，所以r＝－1)，故D正确．]
11．D [由直线的性质可知直线mx－y＋＝0相互垂直，且分别过定点(－，0)，(，0)，∴点P在以原点为圆心，半径为的圆上(除去(－，0))，即圆：x2＋y2＝3(x≠－)．由椭圆的定义可知到A，B距离之和等于4的点在椭圆＋y2＝1上，∵圆x2＋y2＝3(x≠－)与椭圆＋y2＝1有4个交点，∴满足题意的m的值有4个．故选D．]
12．椭圆 [
如图所示，设椭圆C的右焦点为F2，由椭圆的定义得|MF1|＋|MF2|＝2a>2c，因为O，P分别为F1F2，F1M的中点，可得|PF1|＋|PO|＝(|MF1|＋|MF2|)＝a>c．
根据椭圆的定义，可得点P的轨迹是椭圆．]
13． [设椭圆的方程为＝1，令x＝c，则y＝±，由|MN|＝3，得＝3．又a2－b2＝c2＝1，所以a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为＝1．结合椭圆知当B点为椭圆与y轴交点时，S△ABC的面积最大，此时S△ABC＝．]
14．解：(1)连接BF2，CF2．以F1F2的中点O为坐标原点，F1F2所在直线为x轴，过点O作BC的平行线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设截口BAC所在椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)，
因为BF1⊥F1F2，|F1B|＝，|F1F2|＝4，
所以在Rt△BF1F2中，|BF2|＝，
所以2a＝|F1B|＋|F2B|＝6，a＝3．又2c＝|F1F2|＝4，c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，
所以所求椭圆的标准方程为＝1．
(2)因为点P在椭圆上，∠F1PF2＝60°，所以
即
可得|PF1||PF2|＝，
故△F1PF2的面积为
．
15．解：由题意设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)，连接F1A，如图，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m．
由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝．在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝，所以，得a2＝3．又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，所以椭圆C的标准方程为＝1．
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