课时分层作业(二十一)
1．BCD [由4－t＝t－1，得t＝，此时方程＝1表示圆，故A选项错误．由双曲线的定义可知，当(4－t)(t－1)<0时，即t<1或t>4时，方程＝1表示双曲线，故B选项正确．由椭圆的定义可知，当椭圆焦点在x轴上时，满足4－t>t－1>0，解得14，故D选项正确．综上所述，正确的选项为BCD．
故选BCD．]
2．B [双曲线y2－＝1的焦点在y轴上，且焦点为，
所以椭圆的焦点在y轴上，且c＝．
依题意，椭圆短半轴b＝2，则a＝＝5，所以椭圆的方程为＝1．]
3．AD [因为a2＝25，所以a＝5．由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝10，由题意知|PF1|＝12，所以|PF1|－|PF2|＝±10，所以|PF2|＝22或2．]
4．B [设炮弹爆炸点P的坐标为，则＝340×1＝340<600，
所以P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支．因为2a＝340，所以a＝170．又＝600＝2c，所以c＝300，b2＝c2－a2＝90 000－28 900＝61 100，故炮弹爆炸点的轨迹方程为．]
5．C [由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|＝2|PF2|，
所以|PF2|＝2，|PF1|＝4，|F1F2|＝2c＝2＝4，
所以cos ∠F1PF2＝
＝．]
6.34 [因为|PF1|＝2|PF2|＝16，
所以|PF1|－|PF2|＝16－8＝8＝2a，
所以a＝4．又b2＝9，所以c2＝25，
所以2c＝10，所以△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝16＋8＋10＝34．]
7． [不妨设点M在第一象限，由双曲线C：＝1，可得c＝，所以＝1，所以y＝，故△OMF的面积为．]
8．±3 11 [记双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，设P(xP，yP)．因为点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，所以xP＝，所以＝1，解得yP＝±3，所以|PF2|＝3．由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝8，所以|PF1|＝11．]
9．解：选条件①．
因为m>0，所以a2＝m，b2＝2m，c2＝a2＋b2＝3m，解得a＝，c＝．
由题意，得a＋c＝＝(1＋，解得m＝3，
故双曲线C的标准方程为＝1．
选条件②．
由题意，得2c＝6，即c＝3．
若m>0，则a2＝m，b2＝2m，c2＝a2＋b2＝3m，所以c＝＝3，解得m＝3，则双曲线C的方程为＝1；
若m<0，则a2＝－2m，b2＝－m，c2＝a2＋b2＝－3m，所以c＝＝3，解得m＝－3，则双曲线C的方程为＝1．
综上可得，双曲线C的标准方程为＝1．
选条件③．
由题意，得2a＝4，即a＝2．
若m>0，则a2＝m，所以a＝＝2，解得m＝4，则双曲线C的方程为＝1；
若m<0，则a2＝－2m，所以a＝＝2，解得m＝－2，则双曲线C的方程为＝1．
综上可得，双曲线C的标准方程为＝1．
10．AD [设△PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于点A，B，与F1F2切于点M，则|PA|＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|．又点P在双曲线的右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，故|F1M|－|F2M|＝2a．而|F1M|＋|F2M|＝2c，设点M的坐标为(x，0)(x>0)，则由|F1M|－|F2M|＝2a，可得(x＋c)－(c－x)＝2a，解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故AD为真命题．]
11．ACD [由双曲线E：＝1，
知a＝4，b＝3，c＝5．
对于A，设P(m，n)，m>0，n>0，
由已知得|F1F2|n＝cn＝5n＝20，
即n＝4，由＝1，可得m＝，故A正确；
对于B，由P，4，F2(5，0)，
可得>0，则∠PF2F1为钝角，
所以△PF1F2为钝角三角形，故B错误；
对于C，利用两点之间的距离，
可知|PF1|＝，
|PF2|＝，
则△PF1F2的周长为，故C正确；
对于D，设△PF1F2的内心为I，
连接IP，IF1，IF2(图略)，内切圆半径为r，
利用等面积法可得r(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)＝20，可得r＝40，解得r＝，故D正确．故选ACD．]
12.24 24 [由已知椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0，5)，F2(0，－5)，
由椭圆与双曲线的定义可得
所以
又|F1F2|＝10，所以△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°，所以周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝14＋10＝24，|PF1|·|PF2|＝24．]
13．解：(1)以O为原点，以OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
设敌舰艇的位置为P(x，y)，由题意可知|PB|－|PA|＝v0×＝4．
由双曲线的定义可知，敌舰艇的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，且2a＝4，c＝3，
所以b＝，
所以敌舰艇的轨迹方程为＝1(x≤－2)．
(2)设方程＝1(x≤－2)上一点M(x0，y0)，
由题意知＝1(x0≤－2)，即．又C(0，3)，
所以|MC|＝
＝
＝(y0∈R)，
所以当y0＝时，|MC|min＝2，
即无人机飞行的距离最小是2．
14．解：(1)因为
所以tan θ＝．
又，
所以1(2)设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，Q(x1，y1)，则＝(x1－c，y1)，
所以S△OFQ＝|·|y1|＝2，
则y1＝±．
又＝m，即(c，0)·(x1－c，y1)＝，解得x1＝c，所以＝，
当且仅当c＝4时，取等号，||最小．
这时Q的坐标为()或(，－)．
因为
于是所求双曲线的标准方程为＝1．
1 / 1课时分层作业(二十一) 双曲线的标准方程
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共104分
一、选择题
1．(多选题)已知方程＝1表示曲线C，则下列判断正确的是( )
A．当1B．当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线
C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4
2．与双曲线y2－＝1有相同的焦点，且短半轴长为2的椭圆方程是( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
3．(多选题)双曲线＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离可以是( )
A．2 B．5 C．7 D．22
4．如图，已知A，B两地相距600 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1 s，且声速为340 m/s．以线段AB的中点为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点的轨迹方程为( )
A．
B．
C．
D．
5．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2等于( )
A． B．
C． D．
二、填空题
6．已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且＝16，则△PF1F2的周长是________．
7．已知F为双曲线C：＝1的一个焦点，点M在C上，O为坐标原点，若，则△OMF的面积为________．
8．若点P在双曲线＝1上，且点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，则点P的纵坐标为________，点P与双曲线的左焦点的距离为________．
三、解答题
9．在①m>0，且C左支上的任意一点到右焦点的距离的最小值为3＋，②C的焦距为6，③C上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解下列问题．
已知双曲线C：＝1，________，求双曲线C的标准方程．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
10．(多选题)已知F1，F2分别为双曲线＝1(a＞0，b＞0且a≠b)的左、右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，则下列为真命题的是( )
A．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝a上
B．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝b上
C．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上
D．△PF1F2的内切圆必经过点(a，0)
11．(多选题)已知点P是双曲线E：＝1的右支上一点，F1，F2分别为双曲线E的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有( )
A．点P的横坐标为
B．△PF1F2为锐角三角形
C．△PF1F2的周长为
D．△PF1F2的内切圆半径为
12．椭圆＝1与双曲线y2－＝1有公共点P，则P与椭圆两焦点连线构成三角形的周长为________，P与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为________．
13．在一次军事演习中，某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵(此时舰艇可视作静止的点)，如图中的点A，B，C，且OA＝OB＝OC＝3．假设敌舰艇在某处发出信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒(注：信号传播速度为v0)，C处舰艇保持静默．
(1)建立适当的坐标系，并求敌舰艇所有可能出现的位置的轨迹方程；
(2)在A，B两处的舰艇对敌舰艇攻击后，C处舰艇派出无人机到敌舰艇处观察攻击效果，则无人机飞行的距离最小是多少？
14．设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示．已知△OFQ的面积为，且＝m，其中O为坐标原点．
(1)设(2)设＝c，m＝c2，当取得最小值时，求此双曲线的标准方程．
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