课时分层作业(二十二)
1．B [根据题意，双曲线的方程为x2－4y2＝－8，变形可得＝1，
则其焦点在y轴上，且a＝，b＝2，
则其渐近线方程为y＝±x．]
2．AB [当λ>0时，方程化为＝1，
所以双曲线焦点在x轴上，
所以a2＝2λ，b2＝4λ，c2＝a2＋b2＝6λ，
所以离心率e＝．
当λ<0时，方程化为＝1，
所以双曲线焦点在y轴上，
所以a2＝－4λ，b2＝－2λ，c2＝a2＋b2＝－6λ，所以离心率e＝．]
3．D [根据双曲线的离心率e＝，得c＝a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交．
(法一)由得5x2－16x＋12＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|AB|＝·，故选D．
(法二)圆心(2，3)到渐近线y＝2x的距离
d＝，
所以|AB|＝2，故选D．]
4．ABC [双曲线中b＝4，c＝， 离心率 a＝2，则c＝2，双曲线C的右顶点为，A选项正确；双曲线的焦距为2c＝4，B选项正确；双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±2x，C选项正确；直线y＝3x过原点，且斜率为3，大于渐近线的斜率2，所以直线y＝3x与双曲线没有交点，D选项错误．故选ABC．]
5．C [如图所示，不妨设直线与双曲线的左支交于点A，与双曲线的右支交于点B．因为双曲线C的焦距为8，所以c＝4，所以a2＋b2＝c2＝16．连接OM，因为直线x－2y＝0与双曲线C交于A，B两点，所以点A，B关于坐标原点O对称，因此|OA|＝|OB|．又|MA|＝|MB|，所以在△MAB中，OM⊥AB，因此kOM·kAB＝－1，
即·＝－1，所以a＝b．
由解得a2＝b2＝8，
故所求双曲线的方程为＝1．]
6． [设P(x，y)，则＝(x，y)，由题意得a＝，b＝1，所以c＝2，即F(－2，0)，所以＝(x＋2，y)，所以＝x(x＋2)＋y2＝，又x≥，所以当x＝时，有最小值3＋2，所以的取值范围为
7． [由题意，知该双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝k(x－3)过定点(3，0)．因为点(3，0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k＝±．]
8．＝1 [依题意，双曲线C：＝1(a>0，b>0)，
渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，
右焦点(c，0)到渐近线的距离为3，故＝3，即b＝3．
若选①，双曲线C的离心率为，故．
又b＝3，且a2＋b2＝c2，所以a＝4，c＝5，
故双曲线C的方程为＝1．
若选②，椭圆C'：＝1的焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，故c＝5．又a2＋b2＝c2，故a＝4，
故双曲线C的方程为＝1．
若选③，依题意，设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，
故|PF1|－|PF2|＝·2b，故a＝4，
故双曲线C的方程为＝1．]
9．解：(1)由题意有
解得
因此，双曲线C的标准方程为－y2＝1．
(2)由题意知，直线l的斜率存在，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
并设直线l的方程为y＝k(x－)，
联立方程
消去y整理得(1－4k2)x2＋8k2x－(20k2＋4)＝0，所以x1＋x2＝，
得k＝±，满足直线与双曲线相交，
因此，直线l的方程为y＝±(x－)．
10．B [依题意建立平面直角坐标系(图略)，并设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，由双曲线的性质可知，该颈部中最细处直径为实轴长，即2a＝16，可得a＝8．
又离心率e＝，
所以c＝，b2＝c2－a2＝，
所以双曲线的方程为＝1．
因为瓶口直径为20 cm，即可知瓶口最右侧横坐标为10，
将x＝10代入双曲线方程可得＝1，解得y＝±10，所以颈部高为20 cm．]
11．BC [若λ＝，则|PF2|＝7|PF1|，|PF2|－|PF1|＝6|PF1|＝2a，所以|PF1|＝≥c－a，得1则|PF1|＝7|PF2|，|PF1|－|PF2|＝6|PF2|＝2a，|PF2|＝≥c－a，得112． [由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入＝1，
得y＝±，即A，B，故|AB|＝＝10，|AF2|＝＝5，
又|AF1|－|AF2|＝2a，得|AF1|＝|AF2|＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20，
故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝．]
13． (1，) [如图，在双曲线C：＝1中，取x＝c，可得y＝±，
所以|MN|＝x上取x＝c，
求得|PQ|＝．
由，得，即c2>2b2，
所以a2＋b2>2b2，所以0<<1，
所以l1的倾斜角的取值范围为，
所以114．解：(1)∵双曲线C的焦点F(，0)，双曲线C上一点P到F的最短距离为，可设双曲线的方程为＝1，
∴c＝，c－a＝，∴a＝，
∴b2＝c2－a2＝()2－()2＝1，
则双曲线的方程为－y2＝1．
令－y2＝0，则y＝±x，
即渐近线方程为y＝±x．
(2)设P的坐标为(x0，y0)，则Q的坐标为(－x0，－y0)，
∴λ＝·＝(x0，y0－1)·(－x0，－y0－1)＝－＋2．
∵|x0|≥，∴λ的取值范围是(－∞，－1]．
15．解：假设存在同时满足题中的两个条件的双曲线．
若双曲线的焦点在x轴上，
由条件①，设双曲线的方程为＝1(b>0，x≥2b)．
设双曲线上动点P的坐标为(x，y)，则|AP|＝．
结合条件②，若2b≤4，即b≤2，则当x＝4时，＝－1，无解；若2b>4，即b>2，则当x＝2b时，＝|2b－5|＝，解得b＝，此时存在满足条件①②的双曲线，它的方程为＝1．
若双曲线的焦点在y轴上，由条件①，设双曲线的方程为＝1(b>0，x∈R)，∴|AP|＝．
∵x∈R，∴当x＝4时，|AP|最小，|AP|min＝．
∴b2＝1．
此时存在满足条件①②的双曲线，其方程为y2－＝1．
综上所述，所满足的双曲线为＝1或y2－＝1．
1 / 1课时分层作业(二十二) 双曲线的几何性质
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共108分
一、选择题
1．(教材P156习题2-6AT2改编)双曲线x2－4y2＝－8的渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
2．(多选题)双曲线＝λ(λ≠0)的离心率可以是( )
A． B．
C． D．
3．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝( )
A． B．
C． D．
4．(多选题)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：的离心率为，则( )
A．C的右顶点坐标为
B．C的焦距为4
C．C的渐近线方程为y＝±2x
D．直线y＝3x与C有两个交点
5．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的焦距为8，直线x－2y＝0与双曲线C交于A，B两点，定点M(－a，2b)，若|MA|＝|MB|，则双曲线C的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
二、填空题
6．若点O和F分别为双曲线－y2＝1的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为________．
7．若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为________．
8．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点到渐近线的距离为3．现有如下条件：
①双曲线C的离心率为；②双曲线C与椭圆C′：＝1共焦点；③双曲线右支上的一点P到F1，F2的距离之差是虚轴长的倍．
请从上述三个条件中任选一个，得到双曲线C的方程为________．
三、解答题
9．双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点在双曲线C上．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)直线l过点F2且与双曲线C交于A，B两点，且AB的中点的横坐标为－2，求直线l的方程．
10．中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图(1)，这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部(图(2))外形上下对称，基本可看作是离心率为的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面．若该颈部中最细处直径为16 cm，瓶口直径为20 cm，则颈部高为( )
A．10 cm B．20 cm
C．30 cm D．40 cm
11．(多选题)已知F1，F2分别是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝λ|PF2|，则下列结论正确的是( )
A．若λ＝，则双曲线离心率的取值范围为
B．若λ＝，则双曲线离心率的取值范围为
C．若λ＝7，则双曲线离心率的取值范围为
D．若λ＝7，则双曲线离心率的取值范围为
12．设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________．
13．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F作垂直于x轴的直线与双曲线C交于M，N两点，与双曲线的渐近线交于P，Q两点．若＞，记过第一、三象限的双曲线C的渐近线为l1，则l1的倾斜角的取值范围为________，离心率的取值范围为________．
14．已知双曲线C的焦点F，双曲线C上一点P到F的最短距离为．
(1)求双曲线的标准方程和渐近线方程；
(2)已知点M(0，1)，设P是双曲线C上的点，Q是P关于原点的对称点．设λ＝，求λ的取值范围．
15．是否存在同时满足下列条件的双曲线？若存在，求出其方程；若不存在，请说明理由．
①渐近线方程为x＋2y＝0及x－2y＝0；
②双曲线上动点P到点A(5，0)的距离的最小值为．
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