数智分层作业参考答案
课时分层作业(一)
1．A [对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，当λ>0时，λa与a同向，当λ<0时，λa与a反向；对于选项D，向量a与向量b不相等，未必它们的模不相等．]
2．C [如图，连接ON，OG，由题可知G为MN的中点，则()＝()＝．]
3．A [记a＝，b＝，c＝，则a·b＝4×3×cos 90°＝0，同理b·c＝，a·c＝10．
由空间向量加法法则得＝a＋b＋c，
∴||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝42＋32＋52＋2×＋2×10＝85，
∴||＝，即AC'＝．
故选A．]
4．ABC [对于选项A：()－，
对于选项B：()－，
对于选项C：()＋，
对于选项D：()－＝()－．
故选ABC．]
5．BC [对于A，因为AA1⊥BC，所以＝0，故A错误．对于B，·()＝||2＝a2，故B正确．对于C，·()＝||2＝a2，故C正确．对于D，a2，故D错误．故选BC．]
6． [()＝．]
7． [因为|a－2b＋c|2＝a2＋4b2＋c2－4a·b－4b·c＋2a·c＝1＋4＋1－4×－4×＋2×＝3，所以|a－2b＋c|＝．]
8．60° 1 [(法一)连接A1D，PD(图略)，则∠PA1D就是所成角．在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即所成角的大小为60°，
因此××cos 60°＝1．
(法二)根据向量的线性运算可得
＝()·()＝||2＝1．
由题意可得PA1＝B1C＝，则××cos<>＝1，从而<>＝60°．]
9．解：如图所示．
(1)连接A'C'，C'D，，所以x＝1．
(2)()＝，
所以x＝，y＝．
(3)()＝，
所以x＝，y＝．
10．AB [A中，由⊥⊥⊥，得()2＝||2＋||2＋||2＝3||2，故A正确．
B中，连接AB1(图略)，则，由于⊥，即＝0，故B正确．
C中，异面直线A1B与AD1所成的角为60°，但向量夹角为120°，故C不正确．
D中，||＝0，该正方体的体积应为||·||·||，故D不正确．]
11．C [由题意，知＝0，＝0，．∴||2＝||2＋||2＋||2＋2＋2＋2＝62＋42＋82＋2×6×8×cos<>＝(2)2，∴cos<>＝－，∴<>＝120°，∴AC与BD所成的角为60°．故选C．]
12.3 [因为a，b互相垂直，所以a·b＝0，
所以|c－ma－nb|2＝c2＋m2a2＋n2b2－2ma·c－2nb·c＋2mna·b＝25＋m2＋n2－4m－4n＝(m－2)2＋(n－2)2＋9，当且仅当m＝n＝2时，|c－ma－nb|2取得最小值，最小值为9，
则|c－ma－nb|的最小值为3．]
13． [延长EA，FB，GC，HD相交于一点O(如图)，则．又，且，所以．]
14．(1)证明：设＝a，＝b，＝c，正四面体的棱长为1，
则a·b＝a·c＝b·c＝(a＋b＋c)，(b＋c－5a)，(a＋c－5b)，
所以(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝(18a·b－9|a|2)＝＝0，
所以⊥．
(2)解：＝－(a＋b＋c)＋c＝(－2a－2b＋c)，
所以||＝．
又||＝，
(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝，
所以cos<>＝．
又<>∈[0，π]，所以<>＝．
15． [将晶胞各顶点标上字母，如图所示，则．由题可知||＝2，||＝||＝1，α＝∠A1AB＝60°，β＝∠A1AD＝90°，∠BAD＝180°－γ＝60°，所以||2＝||2＋||2＋||2＋2＋2＋2＝4＋1＋1＋2×2×1×cos 60°＋2×2×1×cos 60°＋2×1×1×cos 90°＝10，故||＝，即AC1的长为．]
1/41/4课时分层作业(一) 空间向量及其运算
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共96分
一、选择题
1．下列命题中为真命题的是( )
A．向量与的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量的数乘中λ只决定向量的大小，不决定向量的方向
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
2．已知三棱锥O-ABC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MN＝2GN，则)＝( )
A． B． C． D．
3．已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.则AC′的长为( )
A． B． C．12 D．2
4．(多选题)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的是( )
A．()－
B．()－
C．()＋
D．()－
5．(多选题)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，A1C∩AC1＝O，则( )
A．＝a2
B．＝a2
C．＝a2
D．＝a2
二、填空题
6．(教材P12练习B T2改编)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．化简＝__________.
7．已知向量a，b，c两两夹角都是60°，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则|a－2b＋c|＝__________．
8．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为__________，＝__________．
三、解答题
9．如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，E，F分别是上底面A′B′C′D′和侧面CDD′C′的中心，求下列各式中x，y的值：
(1)＝x()；
(2)＝＋x＋y；
(3)＝＋x＋y.
10．(多选题)已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，则下列结论中正确的是( )
A．()2＝3||2
B．·()＝0
C．向量与向量的夹角为60°
D．正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为||
11．两个平面的交线上有A，B两点，直线AC，BD分别在这两个平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则AC与BD所成的角为( )
A．150° B．45°
C．60° D．120°
12．已知a，b是空间中相互垂直的单位向量，且|c|＝5，c·a＝c·b＝2，则|c－ma－nb|的最小值是__________.
13．光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其中AB与EF之比约为9∶10，则＝__________．
14．如图，正四面体V-ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.
(1)求证：⊥；
(2)求〈〉．
15．自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状、大小与空间格子的平行六面体单位相同，具体形状、大小由它的三组棱长a，b，c及棱间交角α，β，γ(合称为“晶胞参数”)来表示．如图是某种晶体的晶胞，其中a＝2，b＝c＝1，α＝60°，β＝90°，γ＝120°，则该晶胞的体对角线AC1的长为__________．
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