课时分层作业(二十五) 直线与圆锥曲线的位置关系
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共108分
一、选择题
1．若直线y＝kx＋1与椭圆＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．{m|m>1}
B．{m|m≥1或0C．{m|0D．{m|m≥1且m≠5}
3．直线AB过椭圆＝1内一点P(1，n)，若点P为弦AB的中点，设k1为直线AB的斜率，k2为直线OP的斜率，则k1·k2的值为( )
A．－ B．－
C． D．2
4．(多选题)若直线y＝2x－1与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点，则m的值可能为( )
A．3 B．4
C．8 D．10
5．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为( )
A． B．
C． D．
二、填空题
6．已知椭圆C：＝1(b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点．若△F1AB是等边三角形，则b的值等于________．
7．过双曲线＝1的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为________．
8．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．
三、解答题
9．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为2．
(1)求C的方程；
(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线OQ斜率的最大值．
10．(多选题)已知两点A，若直线上存在点P，使得＝2，则称该直线为“点定差直线”．下列直线中，是“点定差直线”的有( )
A．y＝x＋1 B．y＝3x＋1
C．y＝2x＋4 D．y＝x＋3
11．(多选题)已知双曲线C：＝1与双曲线Ω：＝1有相同的渐近线，且过点P，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，则下列说法中正确的有( )
A．若双曲线C上一点M到它的焦点F1的距离等于16，则点M到另一个焦点F2的距离为10
B．若N是双曲线C左支上的点，且|NF1|·|NF2|＝32，则△F1NF2的面积为16
C．过点(3，0)的直线l与双曲线C有唯一公共点，则直线l的方程为4x－3y－12＝0或4x＋3y－12＝0
D．过点Q(2，2)的直线与双曲线＝1相交于A，B两点，且Q(2，2)为弦AB的中点，则直线AB的方程为4x－y－6＝0
12．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点A(x1，y1)，交双曲线的渐近线于点B(x2，y2)且x1＜0＜x2．若|FB|＝3|FA|，则双曲线的离心率是________．
13．如图，过抛物线y2＝4x的焦点F作直线，与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若＝________．
14．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线C上的点A的横坐标为1，且．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过焦点F作两条相互垂直的直线(斜率均存在)，分别与抛物线C交于M，N和P，Q四点，求四边形MPNQ面积的最小值．
15．已知点A(2，1)在双曲线C：＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若tan ∠PAQ＝2 ，求△PAQ的面积．
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1．D [ 由于直线y＝kx＋1恒过点M(0，1)，要使直线y＝kx＋1与椭圆＝1恒有公共点，则只要M(0，1)在椭圆的内部或在椭圆上．
从而有解得m≥1且m≠5．]
2．B [设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
所以
两式相减得b2(y1＋y2)(y1－y2)＋a2(x1＋x2)(x1－x2)＝0，
所以b2(－2)(y1－y2)＋2a2(x1－x2)＝0，
所以－b2＋a2＝0，
所以－2b2＋a2＝0，所以－2(a2－c2)＋a2＝0，所以e＝．故选B．]
3．A [设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝1，＝n，
所以k1＝，k2＝．又点A与B在椭圆上，
所以＝1，＝1，
作差可得＝0，
即)，
所以k1·k2＝，故选A．]
4．AB [联立x2－4x＋m＋1＝0，又因为直线与双曲线只有一个交点，故①当直线与双曲线的渐近线平行时，4－m＝0，即m＝4；
②当直线与双曲线相切时，Δ＝16－4×＝4m2－12m＝0，
解得m＝3或0(舍去)．故选AB．]
5．A [(法一)易知直线y＝x＋4与抛物线y2＝4x相离，设直线y＝x＋m与抛物线y2＝4x相切，则由得y2－4y＋4m＝0，所以Δ＝16－16m＝0，得m＝1，则直线y＝x＋4与y＝x＋1的距离d＝．故选A．
(法二)设抛物线上一点P，则点P到直线x－y＋4＝0的距离d＝，当t＝2时，d取得最小值．]
6． [
因为△F1AB是等边三角形，故|F1A|＝|F1B|，故A，B关于x轴对称，故AB⊥x轴，故∠F1F2A＝90°，∠F1AF2＝60°，故|AF1|＝|2AF2|．又|AF1|＋|AF2|＝2＝6，故|AF2|＝2，故|F1F2|＝2，即c＝，所以9－b2＝3，b＝．]
7． [双曲线＝1的右焦点为F2(3，0)，
所以直线l的方程为y＝(x－3)．
由得5x2＋6x－27＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，
x1x2＝－，
所以|AB|＝
＝．]
8． [
设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，而kBF＝－，
所以·＝－1，整理得b2＝ac，
所以c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0，
解得e＝(舍去)．]
9．解：(1)由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故p＝2，所以C的方程为y2＝4x．
(2)由(1)知F(1，0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，＝(1－x2，－y2)．
因为，
所以
可得
又点P在抛物线C上，所以＝4x1，即(10y2)2＝4(10x2－9)，化简得，则点Q的轨迹方程为y2＝．
设直线OQ的方程为y＝kx，易知当直线OQ与曲线y2＝相切时，斜率可以取最大值，
联立y＝kx与y2＝并化简，得k2x2－＝0，令Δ＝－4k2·＝0，解得k＝±，
所以直线OQ斜率的最大值为．
10．AD [因为，故P点的轨迹方程为双曲线的右支，其中a＝1，c＝2，则b2＝c2－a2＝4－1＝3，所以双曲线为x2－＝1(x>0)，渐近线方程为y＝±x．
y＝x＋1的斜率为1<，
故与x2－＝1(x>0)有交点，A正确；
y＝3x＋1的斜率3>，且与y轴交点为，故与x2－＝1(x>0)无交点，B错误；
y＝2x＋4的斜率2>，且与y轴交点为，故与x2－＝1(x>0)无交点，C错误；
y＝，故与x2－＝1(x>0)有交点，D正确．故选AD．]
11．BD [对于A，设双曲线C：＝k(k>0)，把点P(6，4)的坐标代入得k＝，则双曲线C：＝1，则a＝3，b＝4，c＝5．所以|16－|MF2||＝6，
所以|MF2|＝22或10，所以A选项错误；
对于B，由题得|NF2|－|NF1|＝6，
|NF1|·|NF2|＝32，
所以|NF2|2＋|NF1|2＝100＝|F1F2|2，所以△NF1F2是直角三角形，所以×32＝16，所以B选项正确；
对于C，点(3，0)为双曲线的右顶点，当直线l垂直x轴时，满足题意，此时直线方程为x＝3；当直线有斜率时，此时直线与渐近线平行，则直线方程为y＝±(x－3)，即直线l的方程为4x－3y－12＝0或4x＋3y－12＝0，所以直线l的方程为4x－3y－12＝0或4x＋3y－12＝0或x＝3，所以C选项错误；
对于D，由题得双曲线方程为＝1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝1，＝1，两式相减得
＝0，又＝2，＝2，所以2(x1－x2)－(y1－y2)＝0，所以kAB＝4，所以直线AB的方程为4x－y－6＝0，所以D选项正确．]
12． [由题意知，过左焦点F(－c，0)且斜率为(x＋c)，联立．
∵|FB|＝3，F(－c，0) ＝3(x1＋c，y1) A，
∵A在双曲线上，∴＝1 e＝．]
13．y＝(x－1) [抛物线的焦点坐标为F(1，0)，准线方程为x＝－1，设C(－1，m)，B(a，b)，
因为，所以(－2，m)＝3(a－1，b)＝(3a－3，3b)，则3a－3＝－2，m＝3b，即a＝，此时b2＝4×，
得b＝－，即m＝－2，
则C(－1，－2)，则AB的斜率k＝，则直线方程为y＝(x－1)，
代入y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，得x1＋x2＝，即|AB|＝x1＋x2＋2＝．]
14．解：(1)由已知，1＋，解得p＝，故抛物线C的方程为y2＝x．
(2)由(1)知，F，设直线MN的方程为x＝my＋(m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则直线PQ的方程为x＝－，
联立＝0，则Δ＝m2＋1>0，∴y1＋y2＝m，y1y2＝－，
∴·
＝·＝m2＋1，
同理可得＋1，
∴四边形MPNQ的面积S＝(m2＋1)≥2，
当且仅当＝m2，即m＝±1时等号成立，∴四边形MPNQ面积的最小值为2．
15．解：(1)因为点A(2，1)在双曲线C：＝1(a>1)上，所以＝1，解得a2＝2，即双曲线C：－y2＝1．
易知直线l的斜率存在，设l：y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立可得
(1－2k2)x2－4mkx－2m2－2＝0，
所以Δ＝16m2k2＋4(2m2＋2)(1－2k2)>0 m2＋1－2k2>0，x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以由kAP＋kAQ＝0，可得＝0，即(x1－2)(kx2＋m－1)＋(x2－2)·(kx1＋m－1)＝0，
即2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0，所以2k×＋(m－1－2k)×－4(m－1)＝0，化简得，8k2＋4k－4＋4m(k＋1)＝0，
即(k＋1)(2k－1＋m)＝0，
所以k＝－1或m＝1－2k．
当m＝1－2k时，直线l：y＝kx＋m＝k(x－2)＋1，过点A(2，1)，与题意不符，舍去，故k＝－1．
(2)不妨设直线AP，AQ的倾斜角为α，β(α<β)，因为kAP＋kAQ＝0 ，所以α＋β＝π．
因为tan∠PAQ＝2 ，所以tan(β－α)＝2 ，即tan 2α＝－2 ，
即＝0，
解得tan α＝，
于是，直线AP：y＝(x－2)＋1，直线AQ：y＝－(x－2)＋1，
联立可得
(1－2 )x＋10－4 ＝0．
因为方程有一个根为2，
所以xP＝，yP＝，
同理可得xQ＝，yQ＝．
所以PQ：x＋y－＝0，|PQ|＝，
点A到直线PQ的距离d＝，
故△PAQ的面积为．
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