课时分层作业(二)
1．D [p＝2a＝m＋n，即p可由m，n线性表示，所以m，n，p共面．]
2．D [由三向量共面，所以O，A，B，C四点共面．]
3．AC [对于B：当a与b反向时，|a＋b|≠|a|＋|b|，所以B不成立．对于D：当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面，否则不共面，故D错误．]
4．C [在C中，由＝0，得，则为共面向量，即M，A，B，C四点共面；对于A，由，其系数和1－1－1＝－1≠1，不能得出M，A，B，C四点共面；对于B，由，其系数和≠1，所以M，A，B，C四点不共面；对于D，由＝0，得＝－()，其系数和不为1，所以M，A，B，C四点不共面．]
5．BD [＝a＋b－c，A选项错误．
()＝()＝a＋b＋c，B选项正确．
，则P是A'C的中点，
()＝()＝(a＋b＋c)，＝b＋c，则不存在实数λ使，所以C选项错误．
(a＋b＋c)＝b＝，由于P，M 直线AD，所以A，P，M，D四点共面，所以D选项正确．故选BD．]
6．1 －1 [因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，
于是有]
7 [()＋]
8．2 [d＝x(a＋2b)＋y(b＋3c)＋z(c＋a)＝(x＋z)a＋(2x＋y)b＋(3y＋z)c，因为d＝3a＋4b＋c，所以]
9．解：(1)因为O为AC的中点，＝a，＝b，＝c，
所以()＝(a＋b)，
所以＝－c＋a＋b＝a＋b－c．
(2)因为，
所以
＝－(a＋b)
＝－c－b＋(a＋b)
＝a－b－c．
10．B [因为，又O在平面B1GF内，所以x＋y＋＝1；同理可得＋z＝1．由O在平面B1BDD1内，易得x＝y，解得x＝y＝，z＝，所以x＋y＋z＝，故选B．]
11．BD [()＋()＝a＋b＋c，故A错误；
由题可知|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝0，a·c＝b·c＝，所以|(a＋b＋c)2＝(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c)＝，所以|，故B正确；
因为＝a＋c，＝c＋b－a，
则cos<＝
＝
＝，故C错误，D正确．]
12．8 [根据题意知
即所以x＋y＋z＝8，|m|＝]
13．3a－b＋3c 不能 [()＝()＋()＝()＝3a－b＋3c．
假设共面，则＝λa－2λc＋5μa－5μb＋8μc＝(λ＋5μ)a－5μb＋(8μ－2λ)c＝3a－b＋3c．
所以
所以共面，
所以不能构成一组基底．]
14．解：(1)连接AM，AN(图略)．
∵G是MN的中点，
∴()＝()＝，∴a＋b＋c．
(2)∵＝－a＋b＋c，
∴·(－a＋b＋c)＝－a2＋b2＋c2－a·b＋a·c＋b·c．
又a·b＝a·c＝b·c＝0，|a|＝2，|b|＝|c|＝1，
∴a2＋b2＋c2＝－×4＋×1＋×1＝－1．
15．解：(1)∵N是AB的中点，∴，
∴
＝－()＝－a＋b－c．
(2)假设存在点M，使AM⊥A1N，设(λ∈[0，1])，
显然λ＝λb，＝c－a＋λb．
∵AM⊥A1N，∴＝0，
即(c－a＋λb)·＝0，
∴－c·a＋c·b－c2＋a2－a·b＋c·a－λa·b＋λb2－λb·c＝0．
∵CA＝CB＝CC1＝1，
＝＝，＝，
∴c·a－c2＋a2－a·b＋λb2＝0，
即×1×1××12－×1×1×λ×12＝0，
解得λ＝，
所以当C1M＝C1B1时，AM⊥A1N．
1/4课时分层作业(二) 空间向量基本定理
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分
一、选择题
1．(教材P16练习A T1改编)若a与b不共线且m＝a＋b，n＝a－b，p＝2a，则( )
A．m，n，p共线 B．m与p共线
C．n与p共线 D．m，n，p共面
2．O，A，B，C为空间四点，且向量不能构成空间的一组基底，则( )
A.共线 B．共线
C．共线 D．O，A，B，C四点共面
3．(多选题)已知下列命题，正确的有( )
A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有＝0
B．|a＋b|＝|a|＋|b|是a，b共线的充要条件
C.若a，b，c是空间三向量，则|a－b|≤|a－c|＋|c－b|
D．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面
4．下列条件中使点M与点A，B，C一定共面的是( )
A．＝
B．＝
C．＝0
D．＝0
5．(多选题)如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c.若＝＝，则( )
A．＝a＋b＋c
B．＝a＋b＋c
C．A，P，D′三点共线
D．A，P，M，D四点共面
二、填空题
6．(教材P17练习A T5改编)已知空间的一组基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝__________，y＝__________．
7．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．用表示，则＝__________．
8．已知{a，b，c}可作为空间向量的一组基底，若d＝3a＋4b＋c, 且d在基底{a＋2b，b＋3c，c＋a}下满足d＝x(a＋2b)＋y(b＋3c)＋z(c＋a)，则x＝_________.
三、解答题
9．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．设＝a，＝b，＝c.
(1)用a，b，c表示；
(2)设E是棱DD1上的点，且＝，用a，b，c表示.
10．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别在棱BB1，BC，BA上，且满足＝＝＝，O是平面B1GF、平面ACE与平面B1BDD1的一个公共点．设＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝( )
A． B． C． D．
11．(多选题)如图，在三棱柱中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c，若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，则( )
A．＝a＋b＋c
B．||＝
C．⊥
D．cos 〈〉＝
12．已知空间单位向量e1，e2，e3，e1⊥e2，e2⊥e3，e1·e3＝，若空间向量m＝xe1＋ye2＋ze3满足：m·e1＝4，m·e2＝3，m·e3＝5，则x＋y＋z＝__________，|m|＝__________.
13．在空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则＝__________，向量__________(选填“能”或“不能”)构成一组基底．
14．《九章算术》中的堑堵是指两底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，AA1＝AC＝AB＝1，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，设＝a，＝b，＝c.
(1)试用基底{a，b，c}表示向量；
(2)求的值．
15．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，＝a，＝b，＝c，CA＝CB＝CC1＝1，〈a，b〉＝〈a，c〉＝，〈b，c〉＝，N是AB的中点．
(1)用a，b，c表示向量.
(2)在线段C1B1上是否存在点M，使AM⊥A1N？若存在，求出M的位置，若不存在，说明理由．
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