课时分层作业(三)
1．D [ka＋b＝(－k＋1，k，2)，a－2b＝(－3，1，－4)，则，解得k＝－，故选D．]
2．BD [对于A选项，因为a⊥b，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2＝0，A选项正确；
对于B选项，若x2＝0，且y2≠0，z2≠0，
若a∥b，分式无意义，B选项错误；对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cos
＝，C选项正确；
对于D选项，若x1＝y1＝z1＝1，则|a|＝，此时，a不是单位向量，D选项错误．故选BD．]
3．A [因为a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，所以a·b＝－1，|a|＝，|b|＝
因为ka＋b与2a－b互相垂直，所以(ka＋b)·(2a－b)＝0，
即2k|a|2＋(2－k)a·b－|b|2＝0，即4k－(2－k)－5＝0，解得k＝故选A．]
4．D [夹角为锐角，则a·b＝8＋2＋4t>0，得t>－
当a∥b时，，得t＝8，所以t的取值范围为∪(8，＋∞)．故选D．]
5．AB [因为＝(－1，1，－3)，所以A选项正确；因为＝(－1，1，－3)，＝(1，－1，－3)，所以有|，|，因此B选项正确；因为＝(2，2，2)，＝(1，－1，－3)，所以有＝2－2－6＝－6≠0，因此C选项不正确；因为＝(－1，1，－3)，＝(1，－1，－3)，所以＝－1－1＋9＝7，因此D选项不正确．故选AB．]
6．(－4，3，3) [因为a＝(1，2，3)，b＝(3，－1，2)，c＝(－1，0，1)，
所以a－b＋2c＝(1，2，3)－(3，－1，2)＋2(－1，0，1)＝(－4，3，3)．]
7． [由两点间距离公式得
AB＝]
8．2 [依题意a·b＝1＋n＝3，
解得n＝2，
所以a＝(1，0，1)，b＝(1，1，2)，
所以cos＝
由于∈[0，π]，所以向量a与b的夹角为]
9．解：(1)因为a＝(2，1，－2)，c＝(－1，0，1)，d＝(－1，2，4)，
所以a＋2c＋d＝(－1，3，4)，
所以|a＋2c＋d|＝
(2)选择①．设b＝(x，y，z)，
由题意得即
解得所以b＝
选择②．设b＝(x，y，z)，
由题意得
即
解得
所以b＝
选择③．设b＝(x，y，z)，
由题意得
即
解得
所以b＝(2，－1，2)或b＝(－2，－1，－2)．
10．BC [2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，
故|2a＋b|＝，A错误；＝(1，－1，－2)，，所以点E在直线AB上，B正确；
·b＝＝0，所以⊥b，C正确；
a＋b＝(－1，－2，3)与＝(1，－1，－2)不平行，D错误．]
11．C [∵点Q在直线OP上运动，∴存在实数λ使得＝(λ，λ，2λ)，∴＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6，当且仅当λ＝时，取得最小值，此时Q]
12 [(2a＋b)·c＝2a·c＋b·c＝－10，
又a·c＝4，所以b·c＝－18．又|c|＝3，|b|＝12，所以cos＝
因为∈[0，π]，所以＝]
13．4 2 [因为b＝(1，－1，2)，c＝(2，5，1)，所以b，c不共线，可以取为基底．若向量a＝(5，9，m)，b＝(1，－1，2)，c＝(2，5，1)共面，
则存在实数x，y，使得a＝xb＋yc，
即
故m＝4，此时a＝(5，9，4)，b＝(1，－1，2)，所以a－b＝(5，9，4)－(1，－1，2)＝(4，10，2)，
所以|a－b|＝]
14．解：(1)因为a∥b，所以，且y≠0，解得x＝2，y＝－4，
此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1)．
又由b⊥c得b·c＝0，故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0，得z＝2，此时c＝(3，－2，2)．
(2)由(1)得a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)，因此向量a＋c与向量b＋c所成角θ的余弦值为cos θ＝
15．解：(1)如图，以点C为原点，CA，CB，CC'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由题意，得B(0，1，0)，N(1，0，1)．
则＝(1，－1，1)，
|
(2)由题意，得B(0，1，0)，C(0，0，0)，A'(1，0，2)，B'(0，1，2)．
因为＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，
所以|，
|，
＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3，
cos<，
故cos<
(3)证明：由题意，得A'(1，0，2)，B(0，1，0)，C'(0，0，2)，M
因为＝(－1，1，－2)，，
所以＝(－1)×＋1×＋(－2)×0＝0，即⊥
1/5课时分层作业(三) 空间向量的坐标与空间直角坐标系
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共104分
一、选择题
1．已知向量a＝(－1，1，0)，b＝(1，0，2)，且ka＋b与a－2b互相平行，则k＝( )
A．－ B． C． D．－
2．(多选题)对于任意非零向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，以下说法错误的是( )
A．若a⊥b，则x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
B.若a∥b，则＝＝
C．cos 〈a，b〉＝
D．若x1＝y1＝z1＝1，则a为单位向量
3．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A． B．2
C． D．1
4．(教材P26练习B T3改编)已知向量a＝(－2，1，4)，b＝(－4，2，t)的夹角为锐角，则实数t的取值范围为( )
A．(8，＋∞) B．
C． D．∪(8，＋∞)
5．(多选题)在四面体P-ABC中，P(0，0，3)，A(2，2，5)，B(1，3，2)，C(3，1，2)，则以下选项正确的有( )
A．＝(－1，1，－3) B．||＝||
C．⊥ D．＝11
二、填空题
6．已知空间向量a＝(1，2，3)，b＝(3，－1，2)，c＝(－1，0，1)，则a－b＋2c＝__________．
7．已知A(3，2，－4)，B(5，－2，2)，则A，B两点间的距离为__________．
8．已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(1，1，n)，且a·b＝3，则n＝__________，向量a与b的夹角为__________.
三、解答题
9．已知向量a＝(2，1，－2)，c＝(－1，0，1)，d＝(－1，2，4)，a·b＝－1，b与c垂直，__________．
从①b·d＝2，②b·(a＋d)＝a·c，③|b|＝3这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并完成解答．
(1)求|a＋2c＋d|；
(2)求向量b的坐标．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
10．(多选题)已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)，E，O为坐标原点，则下列说法正确的有( )
A．|2a＋b|＝2 B．点E在直线AB上
C．⊥b D．∥(a＋b)
11．已知O为坐标原点，＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为( )
A． B．
C． D．
12．已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝__________．
13．空间中，若向量a＝(5，9，m)，b＝(1，－1，2)，c＝(2，5，1)共面，则m＝__________，此时|a－b|的值为__________．
14．已知向量a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c.
(2)求向量a＋c与向量b＋c所成角θ的余弦值．
15．(源自北师大版教材例题)如图，三棱柱ABC-A′B′C′中，侧棱与底面垂直，CA＝CB＝1，∠BCA＝，棱AA′＝2，点M，N分别是A′B′和A′A的中点．
(1)求||；
(2)求cos 〈〉的值；
(3)求证：⊥.
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