课时分层作业(二十四) 抛物线的几何性质
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共107分
一、选择题
1．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，＝6，则点P的横坐标为( )
A．6 B．5 C．4 D．2
2．抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|＝( )
A．2 B．3
C．5 D．7
3．抛物线x2＝2py的焦点为F，其准线与双曲线＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝( )
A．3 B．6
C．4 D．8
4．(多选题)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l：y＝x－2与抛物线C交于A，B两点，则( )
A．抛物线C的准线方程为x＝－1
B．点F到直线l的距离为
C．∠AOB＝
D．|AB|＝10
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于( )
A．－4 B．4
C．p2 D．－p2
二、填空题
6．已知点A，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N．若|FM|∶|MN|＝1∶2，则抛物线的方程是________．
7．直线l过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是6，AB的中点到x轴的距离是1，则此抛物线方程是________．
8．已知抛物线y2＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则的最小值是________．
三、解答题
9．已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长．
10．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF与y轴交于点M，且＝0，则点P到直线l的距离为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
11．(多选题)已知倾斜角为θ的直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，且与抛物线交于P1，P2两点，直线l：x＝，作P1M⊥l于点M，P2N⊥l于点N，则下列结论正确的是( )
A．
B．|P1F|＝
C．|P2F|＝
D．S△MON＝
12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作，第九章“勾股”讲述了勾股定理及一些应用，将直角三角形的斜边称为“弦”，短直角边称为“勾”，长直角边称为“股”．设点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点．l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C．若Rt△ABC的“勾”|AB|＝3，“股”|CB|＝，则抛物线的方程为______________．
13．已知点A(2，0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝________．
14．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P到焦点F的距离为6．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若不过原点O的直线l与抛物线C交于A，B两点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点，并求出定点坐标．
15．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，点A(4，－1)，P为抛物线上的动点，直线l为抛物线的准线，点P到直线l的距离为d，|PA|＋d的最小值为5．
(1)求抛物线C的方程；
(2)直线y＝kx＋1与抛物线相交于M，N两点，与y轴相交于Q点，当直线AM，AN的斜率存在，设直线AM，AN，AQ的斜率分别为k1，k2，k3，是否存在实数λ，使得？若存在，求出λ；若不存在，说明理由．
1 / 1课时分层作业(二十四)
1．C [设点P的横坐标为x0，抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，
∵点P在抛物线上，|PF|＝6，∴x0＋2＝6，∴x0＝4．]
2．D [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2．
由得x2－5x＋4＝0，
∴x1＋x2＝5，∴x1＋x2＋2＝7．]
3．B [由题意得＝p，，因为△ABF为等边三角形，
所以p，
所以B＝1，得p＝6．]
4．AB [抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，A选项正确．
直线l：y＝x－2，即x－y－2＝0，F(1，0)到x－y－2＝0的距离为，B选项正确．
由
解得
不妨设A(4＋2，2＋2)，B(4－2，2－2)，
则·＝(4＋2，2＋2)·(4－2，2－2)＝16－12＋4－12＝－4，
所以∠AOB≠，C选项错误．
|AB|＝，D选项错误．故选AB．]
5．A [①若焦点弦AB⊥x轴，
则x1＝x2＝，所以x1x2＝，
所以y1＝p，y2＝－p，所以y1y2＝－p2，
所以＝－4．
②若焦点弦AB不垂直于x轴，
可设AB的直线方程为y＝k，
联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，则x1x2＝，所以y1y2＝－p2，故＝－4．]
6．
y2＝4x [依题意F点的坐标为，
如图，设M在准线上的射影为K，
由抛物线的定义知|MF|＝|MK|．
因为|FM|∶|MN|＝1∶2，
所以|KN|∶|KM|＝，
所以，
所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x．]
7．x2＝8y [由抛物线的方程可得焦点为
，准线方程为y＝－．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以AB的中点的纵坐标为．
因为AB的中点到x轴的距离是1，
所以＝1，所以y1＋y2＝2．
又|AB|＝y1＋y2＋p＝6，故p＝4，所以抛物线方程为x2＝8y．]
8.32 [设AB的方程为x＝my＋4，
代入y2＝4x，
得y2－4my－16＝0，Δ>0，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，
所以＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32．
当m＝0时，的最小值为32．]
9．解：
如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝2px1，＝2px2．
又|OA|＝|OB|，
∴，即＋2px1－2px2＝0，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0．
∵x1>0，x2>0，2p>0，∴x1＝x2，
由此可得|y1|＝|y2|，
即线段AB关于x轴对称．
由此得∠AOx＝30°，
∴y1＝x1，与＝2px1联立，
解得y1＝2p，
∴|AB|＝2y1＝4p，
∴这个正三角形的边长为4p．
10．C [
由抛物线C：y2＝4x，可知F(1，0)，即|OF|＝1(O为坐标原点)，过点P作y轴的垂线，垂足为N．
因为＝0，即，由△MOF∽△MNP，可知，所以|PN|＝4|OF|＝4，
所以点P到准线l的距离为5．故选C．]
11．BCD [
设准线l：x＝－与x轴的交点为E，连接MF，NF，如图由抛物线的定义可得，|MP1|＝|FP1|，|NP2|＝|FP2|．由题意可得，
∠FP1M＝θ，
∠FP2N＝π－θ，∠EFM＝，∠EFN＝，|EF|＝p．
在Rt△EFM中，|MF|＝，在△P1MF中，
|P1F|＝，
同理可得|NF|＝，|P2F|＝，
所以，故A错误，B，C正确．在△MNF中，∠MFN＝∠EFM＋∠EFN＝，
所以|MN|＝，所以S△MON＝|MN|·|OE|＝··，故D正确．
故选BCD．]
12．y2＝3x [
由题意可知，|AB|＝3，|BC|＝3，可得|AC|＝＝6，
所以∠CAB＝60°．
由抛物线的定义得|AB|＝|AF|，所以△ABF是等边三角形，
所以＝，
所以抛物线的方程是y2＝3x．]
13.1∶ [因为抛物线C：x2＝4y的焦点为F(0，1)，点A坐标为(2，0)，所以抛物线的准线方程为l：y＝－1，直线AF的斜率为k＝．过M作MP⊥l于P，根据抛物线的定义得|FM|＝|PM|．
因为Rt△MPN中，
tan ∠MNP＝－k＝，
所以，可得|PN|＝2|PM|，
得|MN|＝|PM|，
所以，
可得|FM|∶|MN|＝|PM|∶|MN|＝1∶．]
14．(1)解：由题意设抛物线的方程为y2＝2px，
点P在抛物线上且到焦点的距离为6，即点P到准线的距离为6，
即4＋＝6，解得p＝4，即抛物线的标准方程为y2＝8x．
(2)证明：由题意知直线l不能与x轴平行，故直线l方程可设为x＝my＋n(n≠0)，与抛物线联立得
消去x得y2－8my－8n＝0．
设A，B，则Δ＝64m2＋32n>0，则y1＋y2＝8m，y1y2＝－8n．
由OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0，所以y1y2＋＝0，
即y1y2＝0，
亦即－8n＝0，又n≠0，
解得n＝8，
所以直线方程为x＝my＋8，易得直线l过定点．
15．解：(1)设抛物线C的焦点为F，根据抛物线的定义得d＝|PF|，
|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝＝5，由于p>0，解得p＝4，
则抛物线C的方程为x2＝8y．
(2)存在．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋1代入抛物线C的方程，
整理得x2－8kx－8＝0，
所以x1＋x2＝8k，x1·x2＝－8．
又，同理，
则
＝
＝＝－4．
又Q(0，1)，A(4，－1)，所以k3＝，
所以当λ＝2时有．
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