微专题强化练(三) 圆锥曲线中的证明与探索性问题
说明：本试卷共64分
1．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)过点A(－3，2)，且离心率e＝．
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)如果B，C为双曲线上的动点，直线AB与直线AC的斜率互为相反数，证明直线BC的斜率为定值，并求出该定值．
2．已知椭圆的两焦点分别为F1(－1，0)和F2(1，0)，短轴的一个端点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆上是否存在一点P使得PF1⊥PF2？若存在求△PF1F2的面积，若不存在，请说明理由．
3．已知点A(－2，0)，B(2，0)均为曲线C上的点，P为曲线C上异于A，B的任意一点，且满足直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为－．
(1)求曲线C的方程；
(2)若曲线C的右焦点为F，过M(4，0)的直线l与曲线C交于点D，E，求证：直线FD与直线FE的斜率之和为定值．
4．已知A(－2，0)，B(2，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是3．
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)过点N(2，3)能否作一条直线m与轨迹C交于P，Q两点，且点N是线段PQ的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，请说明理由．
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1．(1)解：由题意解得a2＝8，b2＝32，故双曲线的标准方程为＝1．
(2)证明：设点B(x1，y1)，C(x2，y2)，设直线AB的方程为y－2＝k(x＋3)，代入双曲线方程，得(4－k2)x2－2k(3k＋2)x－(3k＋2)2－32＝0，
∴－3＋x1＝，x1＝，
y1＝，
∴B，
同理C，
∴kBC＝＝6为定值．
2．解：(1)椭圆的两焦点分别为(－1，0)和(1，0)，短轴的一个端点为(0，)，
∴c＝1，b＝，∴a＝＝2，
∴椭圆的标准方程为＝1．
(2)假设椭圆上存在点P(x0，y0)，使得PF1⊥PF2，
则·＝(－1－x0，－y0)·(1－x0，－y0)＝0，即＝1，
联立＝－8，此方程无解，
∴椭圆上不存在点P，使得PF1⊥PF2．
3．(1)解：设P(x，y)．因为kPA·kPB＝－，
所以(x≠±2)，
化简得＝1(x≠±2)．
又A(－2，0)，B(2，0)均为曲线C上的点，
所以曲线C的方程为＝1．
(2)证明：当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x＝ty＋4，D(x1，y1)，E(x2，y2)．
联立得(3t2＋4)y2＋24ty＋36＝0，
Δ＝144(t2－4)>0，y1＋y2＝－，
y1y2＝，
所以，即3(y1＋y2)＝－2ty1y2．
又F(1，0)，所以kFD＝，kFE＝，
所以kFD＋kFE＝
＝＝0．
当直线l的斜率为0时，易知kFD＋kFE＝0．
综上，直线FD与直线FE的斜率之和为定值0．
4．解：(1)设M(x，y)，x≠±2，则直线AM的斜率kAM＝，直线BM的斜率kBM＝，由kAM·kBM＝3，得·＝3，
整理得3x2－y2＝12(x≠±2)，
即轨迹C的方程为＝1(x≠±2)．
(2)假设存在满足条件的直线m．
易知直线m的斜率存在，设直线m的斜率为k，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
两式相减得
＝0，
即．
∵N(2，3)是线段PQ的中点，
∴＝2，即k＝2，
故直线m的方程为2x－y－1＝0．
由得x2－4x＋13＝0，Δ＝－36<0，此时直线m与轨迹C不相交．
故假设不成立，即不能作出满足条件的直线．
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