课时分层作业(二十七)
1．C [建立如图所示空间直角坐标系，设正四棱锥的棱长为2，则A(1，－1，0)，D(－1，－1，0)，S(0，0，)，E，∴＝(－1，－1，－)，
∴cos<，
∴AE，SD夹角的余弦值为．]
2．B [建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，所以G，
又因为平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，
则cos<，n>＝，
所以，所以．]
3．D [以B为原点，直线BC，BA，BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则D(2，2，0)，B1(0，0，1)，C1(2，0，1)．
设平面BB1D1D的一个法向量n＝(x，y，z)，
则取n＝(1，－1，0)，直线BC1的方向向量＝(2，0，1)，设直线BC1与平面BB1D1D的夹角为θ，则sin θ＝．]
4．C [建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，则M(0，2，1)，O(1，1，0)，设P(x，0，2)，其中0≤x≤2，则＝(0，2，1)，＝(x－1，－1，2)．
由·＝0×(x－1)＋2×(－1)＋1×2＝0，得AM⊥OP，∴直线OP与AM的夹角是．]
5．B [过A作AE⊥BD，过C作CF⊥BD，则AE＝，BE＝，所以EF＝1，因为，
所以||2＝||2＋||2＋||2＋2||·cos<>，∴cos<，
∴平面ABD与平面BCD的夹角是60°，故选B．]
6．45°或135° [因为cos＝，所以两平面所成的二面角的大小为45°或135．]
7．30° [如图，以O为原点建立空间直角坐标系，
设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，P，
则＝(2a，0，0)，
，
＝(a，a，0)．
设平面PAC的一个法向量为n，可求得n=(0，1，1)，
设BC与平面PAC的夹角为θ，
则sin θ＝|cos<，n>|＝，∴θ＝30°．]
8． [建立如图所示坐标系，设AB＝1，则D，A(0，0，0)，F(1，0，0)，B(0，1，0)，
所以＝(1，－1，0)．
所以异面直线AD与BF夹角的余弦值是
．]
9．解：(1)证明：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，C1(2，2，2)，D1(0，2，2)，
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，
所以E(2，1，0)，F(1，2，0)，
所以＝(1，0，－2)，＝(2，2，0)，＝(2，1，－2)，
设平面A1EC1的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则
令x1＝2，则m＝(2，－2，1)，
因为·m＝2－2＝0，
所以⊥m，
因为D1F 平面A1EC1，所以D1F∥平面A1EC1．
(2)由(1)得，＝(2，2，2)，
设直线AC1与平面A1EC1的夹角为θ，
则sin θ＝＝＝＝．
(3)由正方体的特征可得，
平面AA1C1的一个法向量为＝(2，－2，0)，
则cos<，m>＝，
所以二面角A A1C1 E的正弦值为
．
10．解：(1)证明：取PD的中点G，连接FG，CG(图略)，
因为F为PE的中点，所以FG＝DE＝1，FG∥DE，又BC＝1，AD∥BC，所以FG＝BC，FG∥BC，所以四边形FGCB为平行四边形，所以BF∥CG，
又BF 平面PCD，CG 平面PCD，所以BF∥平面PCD．
(2)因为AB⊥平面PAD，PE 平面PAD，所以AB⊥PE，又PE⊥AD，AB∩AD＝A，AB，AD 平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD．
连接EC，易知四边形ABCE为矩形，故直线EC，ED，EP两两垂直，故以E为坐标原点，EC，ED，EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，0，2)，C(1，0，0)，D(0，2，0)，A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，则＝(1，0，0)，＝(0，1，2)，＝(1，0，－2)，＝(0，2，－2)．
设平面PAB的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则可取n1＝(0，－2，1)．
设平面PCD的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则可取n2＝(2，1，1)．
设平面PAB与平面PCD的夹角为θ，
则cos θ＝|cos|＝．
所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为．
11．B [建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，则A(0，0，1)，B1，
C1(0，，0)，B．
∴，
．
∴·－1＝0，
∴．即AB1与C1B夹角的大小为90°．]
12．B [如图，作AO⊥平面BCD于O，则O是△BCD的中心，以O为坐标原点，OD为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系．设AB＝2，则O(0，0，0)，A，C，E，
∴，
∴cos<．
∴CE与平面BCD的夹角的正弦值为．]
13．ABC [A中，如图取BD中点O，连接AO，CO，
易知BD垂直于平面AOC，故BD⊥AC，故A正确；
B中，如图建立空间直角坐标系，设正方形边长为a，则A，B，
故＝，
C，D，
故＝，
由两向量夹角公式得cos〈〉＝－，
故两异面直线的夹角为60°，故B正确；
C中，在直角三角形AOC中，由AO＝CO＝a，
解得AC＝AO＝a，
所以△ADC为等边三角形，故C正确；
14． [如图建立空间直角坐标系，则D(0，2，0)，M(0，0，1)，P(2，0，2)，
∴＝(0，2，－1)，＝(2，0，1)，
设n1＝(x，y，z)是平面PMD的一个法向量，
则
令z＝1得n1＝，
易知n2＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量．
∴cos＝．
又＝(0，0，1)，则直线MA与平面PMD夹角的正弦值为．]
15．解：(1)证明：在四边形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，
因为CD∥AB，AD＝CD＝CB＝1，AB＝2，
所以四边形ABCD为等腰梯形，
所以AE＝BF＝，
故DE＝，BD＝，
所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD．
因为PD⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以PD⊥BD，又PD∩AD＝D，所以BD⊥平面PAD，
又PA 平面PAD，
所以BD⊥PA．
(2)由条件知，PD，AD，BD两两垂直，如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，，0)，P(0，0，)，
则＝(－1，0，＝(0，－＝(0，0，)，设平面PAB的法向量n＝(x，y，z)，
则有
可取n＝(，1，1)，
则cos所以PD与平面PAB夹角的正弦值为．
1 / 1课时分层作业(二十七) 空间中的角
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分
一、选择题
1．已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD夹角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面夹角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D夹角的正弦值为( )
A． B．
C． D．
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是DD1的中点，O是底面四边形ABCD的中心，P是棱A1B1上任意一点，则直线OP与AM的夹角是( )
A． B．
C． D．与点P的位置有关
5．把矩形ABCD沿对角线BD折成二面角A-BD-C，若AB＝1，AD＝，AC＝，则平面ABD与平面BCD的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．90°
二、填空题
6．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为________．
7．在正四棱锥S-ABCD中，O为顶点在底面上的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角是________．
8．正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF夹角的余弦值是________．
三、解答题
9．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
(1)求证：D1F∥平面A1EC1；
(2)求直线AC1与平面A1EC1夹角的正弦值；
(3)求二面角A-A1C1-E的正弦值．
10．如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，AB＝BC＝1，AD＝3，点E在AD上，且PE⊥AD，PE＝DE＝2．
(1)若F为线段PE的中点，求证：BF∥平面PCD；
(2)若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．
11．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B夹角的大小为( )
A．60° B．90°
C．105° D．75°
12．如图，在正四面体A-BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为( )
A． B．
C． D．
13．(多选题)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列四个结论正确的是( )
A．AC⊥BD
B．AB，CD的夹角为60°
C．△ADC为等边三角形
D．AB与平面BCD的夹角为60°
14．四边形ABCD是边长为2的正方形，MA和PB都与平面ABCD垂直，且PB＝2MA＝2，则平面PMD与平面ABCD夹角的余弦值为________，直线MA与平面PMD夹角的正弦值为________．
15．在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝．
(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD与平面PAB 夹角的正弦值．
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