课时分层作业(二十八) 空间中的距离问题
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分
一、选择题
1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则点A1与对角线BC1所在直线间的距离是( )
A．a B．a
C．a D．
2．如图，已知ABC-A1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则点C1到平面AB1D的距离为( )
A．a B．a
C．a D．a
3．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD＝G．则三棱锥B1-EFD1的体积V等于( )
A． B．
C． D．16
4．△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于( )
A．5 B．
C．4 D．2
5．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )
A．a B．a
C．a D．a
二、填空题
6．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为________．
7．设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离为________．
8．设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．
三、解答题
9．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E是AD1的中点，求点E到直线BD的距离．
10．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，试求点F到平面A1D1E的距离．
11．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值是( )
A．a B．a
C．a D．a
12．如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，则点P到平面BQD的距离为( )
A． B．
C． D．
13．(多选题)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AC，AA1，AB的中点．则下列结论正确的是( )
A．AC1与EF相交
B．B1C1∥平面DEF
C．EF与AC1所成的角为90°
D．点B1到平面DEF的距离为
14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则
(1)点B1到平面ABC1的距离为________；
(2)点C到平面ABC1的距离为________．
15．如图，已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．
(1)设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A-B1D1-A1的大小为β．求证：tan β＝tan α；
(2)若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高．
1 / 1课时分层作业(二十八)
1．A [如图建立空间直角坐标系，则A1(a，0，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a)．
∴＝(0，a，－a)，|a，＝(－a，0，a)，|a．
∴点A1到BC1的距离d＝
a．]
2．A [∵ABB1A1为正方形，∴A1B⊥AB1，又平面AB1D⊥平面ABB1A1，∴A1B⊥平面AB1D，∴是平面AB1D的一个法向量，由于C1D＝CD，所以C1到平面AB1D的距离等于C到平面AB1D的距离，
设点C到平面AB1D的距离为d，则
d＝
＝a．]
3．C [以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(2，2，4)，D1(0，0，4)，E(2，0)，F(，2，0)，
∴＝(2，－4)，＝(，2，－4)，＝(2，2，0)，
∴cos<，
∴sin<，∴|·||·sin<＝5，
又∵平面D1EF的法向量为n＝，
∴点B1到平面D1EF的距离d＝，
∴··d＝．]
4．A [由已知得，＝(0，4，－3)，＝(4，－5，0)，
|＝5，
|，
∴·＝－4，∴点B到AC的距离，即AC边上的高BD＝＝5．]
5．D [以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1，1)，由A(a，0，0)，B(a，a，0)，得＝(0，－a，0)，
则两平面间的距离d＝|·a．]
6． [建立空间直角坐标系，如图，则C(1，1，0)，C1(1，1，1)，E，所以＝(0，0，1)，所以上的投影数量为
，
所以点C1到直线EC的距离
d＝．]
7． [设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
∵n·＝0，n·＝0，
∴
取z＝－2，则n＝(3，2，－2)．
又＝(－7，－7，7)，
∴点D到平面ABC的距离为d＝．]
8． [如图建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，∴＝(2，0，0)，＝(2，0，2)，＝(2，2，0)，
设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝1，得n＝(1，－1，－1)，
∴点D1到平面A1BD的距离d＝．]
9．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，E，
∴＝(1，1，0)，
，
∴·，
∴点E到直线BD的距离为
d＝．
10．解：以A为坐标原点，取AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．如图，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，F，D1(0，1，1)．
∴＝(0，1，0)．
设平面A1D1E的一个法向量为n＝(x，y，z)．
则
取z＝2，得n＝(1，0，2)．
又，
∴点F到平面A1D1E的距离d＝．
11．A [设M(0，m，m)(0≤m≤a)，＝(－a，0，a)，直线AD1的一个单位方向向量s0＝，由＝(0，－m，a－m)，故点M到直线AD1的距离d＝，故当m＝－时，d取最小值a．]
12．B [如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则B(3，0，0)，D(0，4，0)，
P(0，0，2)，Q(0，0，1)，
＝(3，0，－1)，＝(－3，4，0)，＝(0，0，1)．
设平面BQD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
令x＝4，则y＝3，z＝12，
∴n＝(4，3，12)．
∴点P到平面BQD的距离d＝．]
13．BCD [对于选项A，由题图知AC1 平面ACC1A1，EF∩平面ACC1A1＝E，且E AC1．
由异面直线的定义可知AC1与EF异面，故A错误：
对于选项B，在直三棱柱ABC A1B1C1中，B1C1∥BC．
∵D，F分别是AC，AB的中点，
∴FD∥BC，∴B1C1∥FD．
又∵B1C1 平面DEF，DF 平面DEF，
∴B1C1∥平面DEF．故B正确：
对于选项C，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(2，0，2)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)，D(1，0，0)，E(2，0，1)，F(1，1，0)．
∴＝(－1，1，－1)，＝(－2，0，2)．
∵·＝2＋0－2＝0，
∴，
∴EF与AC1所成的角为90°．故C正确：
对于选项D，设向量n＝(x，y，z)是平面DEF的一个法向量．
∵＝(1，0，1)，＝(0，1，0)，
∴由
取x＝1，则z＝－1，∴n＝(1，0，－1)，
设点B1到平面DEF的距离为d．
又∵＝(－1，2，2)，
∴d＝，
∴点B1到平面DEF的距离为，故D正确．]
14．(1) (2) [(1)法一：建立如图所示的空间直角坐标系，
则A，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，则＝(0，1，0)，＝(0，1，－1)．
设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，1)，
则有
解得n＝，则所求距离为
．
法二：连接AB1(图略)，．
设点B1到平面ABC1的距离为h，则·h，，所以h＝．
(2)连接B1C与BC1相交于点D(图略)，则D为B1C的中点，所以点B1到平面ABC1的距离与点C到平面ABC1的距离相等．
所以点C到平面ABC1的距离为．]
15．解：设正四棱柱的高为h．
(1)证明：连AO1，
∵AA1⊥底面A1B1C1D1，
∴∠AB1A1是AB1与底面A1B1C1D1所成的角，
∴∠AB1A1＝α．
∵在等腰△AB1D1中，AO1⊥B1D1．又A1C1⊥B1D1，
∴∠AO1A1是二面角A B1D1 A1的一个平面角，
∴∠AO1A1＝β．
在Rt△AB1A1中，tan α＝＝h：
在Rt△AO1A1中，tan β＝h．
∴tan β＝tan α．
(2)如图建立空间直角坐标系，有A(0，0，h)，B1(1，0，0)，D1(0，1，0)，C(1，1，h)，
则＝(1，0，－h)，＝(0，1，－h)，＝(1，1，0)．
设平面AB1D1的法向量为n＝(u，v，w)．
∵n⊥，n⊥，
∴n·＝0，n·＝0．
由得u＝hw，v＝hw，
∴n＝(hw，hw，w)．取w＝1，得n＝(h，h，1)．
由点C到平面AB1D1的距离为d＝，解得高h＝2．
1 / 1
