课时分层作业(二十九) 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分
一、选择题
1．某班有男生26人，女生24人，从中选一位担任学习委员，不同的选法有( )
A．50种 B．26种
C．24种 D．616种
2．已知集合A?{1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
3．火车上有10名乘客，要在沿途的5个车站下车，则乘客下车的所有可能情况共有( )
A．510种 B．105种
C．50种 D．以上都不对
4．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有( )
A．4种 B．5种
C．6种 D．12种
5．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为奇数的不同取法的种数为( )
A．25 B．12
C．9 D．6
二、填空题
6．乘积(a＋b＋c)(m＋n)(x＋y)展开后，共有______项．
7．从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为________．
8．设a，b，c∈{1，2，3，4，5，6}，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有________个．
三、解答题
9．(源自人教B版教材)某班班委由2位女同学、3位男同学组成，现要从该班班委里选出2人去参加学校组织的培训活动，要求至少要有1位女同学参加，则不同的选法共有多少种？
10．已知椭圆＝1，其中m，n∈{1，2，3，4，5}．
(1)求满足条件的椭圆的个数；
(2)如果椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的个数．
11．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12 D．9
12．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )
A．48 B．18
C．24 D．36
13．(多选题)某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是( )
第1节 第2节 第3节 第4节
地理1班 化学A 层3班 地理2班 化学A 层4班
生物A 层1班 化学B 层2班 生物B 层2班 历史B 层1班
物理A 层1班 生物A 层3班 物理A 层2班 生物A 层4班
物理B 层2班 生物B 层1班 物理B 层1班 物理A 层4班
政治1班 物理A 层3班 政治2班 政治3班
A．此人有4种选课方式
B．此人有5种选课方式
C．自习不可能安排在第2节
D．自习可安排在4节课中的任一节
14．已知a，b∈{0，1，2，3}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝4可表示不同的圆的个数为________，其中与y轴相交的圆的个数为________．
15．已知集合A＝{a，b，c}，集合B＝{－1，0，1}．
(1)从集合A到B能构造多少个不同的函数？
(2)满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0的函数有多少个？
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1．A [选一位学习委员分两类办法：第一类：选男生，有26种不同的选法：第二类：选女生，有24种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有N＝26＋24＝50种不同的选法．]
2．D [当集合A中含一个元素时，A＝{1}或{3}：当集合A中含两个元素时，A＝{1，2}或{1，3}或{2，3}，所以共有5个集合．]
3．A [完成这件事可分为10步，即10名乘客全部下车，每名乘客选择下车的不同方法均为5种，由分步乘法计数原理知，所有可能的情况为510种．]
4．C [若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲，3种不同的传法：同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法．]
5．C [两个数字的和为奇数，这两个数必须一个是奇数，另一个是偶数，在所给的6个数中，有3个奇数与3个偶数．因此，由分步乘法计数原理得，共有3×3＝9种不同的取法．]
6．12 [因为乘积(a＋b＋c)(m＋n)(x＋y)的展开式中的每一项是由a＋b＋c中的一个字母与m＋n中的一个字母与x＋y中的一个字母的乘积组成，可分步完成此事．所以共有3×2×2＝12项．]
7．5 [分两类：另一类是女同学主持主题班会有3种方法：另一类是男同学主持主题班会有2种方法，由分类加法计数原理知，共有3＋2＝5(种)方法．]
8．27 [先考虑等边的情况，a＝b＝c＝1，2，…，6，有六个，
再考虑等腰的情况，若a＝b＝1，c
若a＝b＝2，c若a＝b＝3，c若a＝b＝4，c若a＝b＝5，c若a＝b＝6，c9．解：按照选择的女同学人数分为两种情况，即2位都是女同学和只有1位女同学．
2位都是女同学的选法显然只有1种．
只有1位女同学的选法，可以分为两步完成：先从2位女同学中选出1人，有2种选法：再从3位男同学中选出1人，有3种选法．依据分步乘法计数原理，共有不同的选法2×3＝6种．
依据分类加法计数原理，不同的选法共有1＋6＝7种．
10．解：(1)由椭圆的标准方程知m≠n，要确定一个椭圆，只要把m，n一一确定下来这个椭圆就确定了．
故要确定一个椭圆共分两步，第一步确定m，有5种方法，第二步确定n，有4种方法，共有5×4＝20个椭圆．
(2)要使焦点在x轴上，必须m>n，故可以分类，当m＝2，3，4，5时，n的取值列表为：
m 2 3 4 5
n 1 1，2 1，2，3 1，2，3，4
故共有1＋2＋3＋4＝10个椭圆．
11．B [分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径：第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径．故选B．]
12．D [在正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24个“正交线面对”：而正方体的六个对角面中，每个对角面有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”．]
13．BD [由于生物在B层，只有第2，3节有，故分两类：
若生物选第2节，则地理可选第1节或第3节，有2种选法，其他两节政治、自习任意选，故有2×2＝4种(此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节)：若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种．根据分类加法计数原理可得选课方式有4＋1＝5种．综上，自习可安排在4节课中的任一节．故选BD．]
14．16 12 [得到圆的方程分两步：第一步：确定a有4种选法：第二步：确定b有4种选法，由分步乘法计数原理知，共有4×4＝16(个)．
由与y轴相交知，a＝0或1或2，b有4种选法，由分步乘法计数原理知，共有3×4＝12(个)．]
15．解：(1)每个元素a，b，c都可以有3个数和它对应，故从A到B能构造3×3×3＝27个不同的函数．
(2)列表如下：
f(a) 0 0 0 1 1 －1 －1
f(b) 0 1 －1 0 －1 1 0
f(c) 0 －1 1 －1 0 0 1
从表中可知满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0的函数有7个．
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