课时分层作业(三十) 基本计数原理的简单应用
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共94分
一、选择题
1．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为( )
A．30 B．20
C．10 D．6
2．如图所示的几何体由三棱锥P-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有( )
A．6种 B．9种
C．12种 D．36种
3．一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有( )
A．6种 B．8种
C．36种 D．48种
4．如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( )
A．24 B．48
C．72 D．96
5．甲与其四位朋友各有一辆私家车，甲的车牌尾数是0，其四位朋友的车牌尾数分别是0，2，1，5．为遵守当地5月1日至5日这5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为( )
A．32 B．64
C．128 D．256
二、填空题
6．我们把中间数位上的数字最大，而两边依次减小的多位数称为“凸数”，如132，341等，那么由1，2，3，4，5可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是________．
7．某电商为某次活动设计了“和谐”“爱国”“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包中的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同．员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖．则他获得奖次的不同情形种数为________．
8．满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为________．
三、解答题
9．在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋．现在从这7人中选1人参加象棋比赛，另选1人参加围棋比赛，共有多少种不同的选法？
10．用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的且比2 000大的四位偶数．
11．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为( )
A．504 B．210
C．336 D．120
12．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有( )
A．8种 B．9种
C．10种 D．11种
13．(多选题)现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是( )
A．所有可能的方法有34种
B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有12种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
14．4位同学参加某竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数有________种．
15．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3 443，94 249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99，3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则
(1)5位回文数有________个；
(2)2n(n∈N＋)位回文数有________个．
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1．D [从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个不同的数字的和为偶数可分为两类：第一类，取出的两个数都是偶数，有0和2，0和4，2和4，共3种不同的取法：第二类，取出的两个数都是奇数，有1和3，1和5，3和5，共3种不同的取法．由分类加法计数原理得，共有3＋3＝6种不同的取法．]
2．C [先涂三棱锥P ABC的三个侧面，有3×2×1种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有2×1×1种情况，由分步乘法计数原理，共有3×2×1×2×1×1＝12种不同的涂法．故选C．]
3．D [
如图所示，由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，选定一个区域后可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种结果，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种结果，参观完第二个区域，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48(种)不同的参观路线．]
4．C [分两种情况：
①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D各有1种，有4×3×2＝24种涂法．②A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48种涂法．故共有24＋48＝72种涂色方法．故选C．]
5．B [由题意，1日、3日、5日这三天，只有车牌尾数为1，5的车通行，则每天有2种用车方案，所以这三日的不同的用车方案种数为23＝8：2日、4日这两天，只有车牌尾数为0，2的车通行，且甲的车最多只能用一天，若用甲的车，则不同的用车方案种数为2×2＝4，若不用甲的车，则不同的用车方案种数为22＝4．因此总的用车方案种数为8×(4＋4)＝64．]
6．20 [根据“凸数”的特点，中间的数字只能是3，4，5，故分三类，第一类，当中间数字为“3”时，此时有2个(132，231)：第二类，当中间数字为“4”时，则百位数字有三种选择，个位数字有两种选择，则“凸数”有2×3＝6个：第三类，当中间数字为“5”时，则百位数字有四种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有4×3＝12个．根据分类加法计数原理，得到由1，2，3，4，5可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是2＋6＋12＝20．]
7．18 [根据题意，若员工甲直到第4次才获奖，则其第4次才集全“和谐”“爱国”“敬业”三种红包，则甲第4次获得的红包有3种情况，前三次获得的红包为其余的2种，有23－2＝6种情况，则他获得奖次的不同情形种数为3×6＝18．]
8．13 [当a＝0时，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的个数为4：
当a≠0时，要使方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1．
若a＝－1，则b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的个数为4：
若a＝1，则b的值可以是－1，0，1，(a，b)的个数为3：
若a＝2，则b的值可以是－1，0，(a，b)的个数为2．
由分类加法计数原理可知，(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13．]
9．解：考虑“多面手”参赛人数，分三类完成这件事：
第1类，“多面手”未参赛，即从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，选法种数为3×2＝6．
第2类，“多面手”中有1人参赛．①从“多面手”中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，选法种数为2×2＝4：②从“多面手”中选1名参加围棋比赛，同时从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，选法种数为2×3＝6．所以“多面手”中有1人参赛的选法种数为4＋6＝10．
第3类，“多面手”出2人，参加象棋和围棋比赛，有2种选法．
根据分类加法计数原理，不同的选法种数为6＋10＋2＝18．
10．解：完成这件事有3类方法：
第一类是用0做结尾的比2 000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，只有2，3，4，5可以选择，有4种选法：第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可供选择，有4种选法：第三步，选取十位上的数字，还有3种选法．依据分步乘法计数原理，这类数的个数有4×4×3＝48个：
第二类是用2做结尾的比2 000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，除去2，1，0，只有3个数字可以选择，有3种选法：第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之后，还有4个数字可供选择，有4种选法：第三步，选取十位上的数字，还有3种选法．依据分步乘法计数原理，这类数的个数有3×4×3＝36个：
第三类是用4做结尾的比2 000大的4位偶数，其个数同第二类．
用分类加法计数原理，所求无重复数字的比2 000大的四位偶数有48＋36＋36＝120个．
11．A [分三步，先插第一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法．
故共有7×8×9＝504种不同的插法．]
12．B [法一：设四位监考教师分别为A、B、C、D，所教的班分别为a、b、c、d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c、d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理共有3＋3＋3＝9种．
法二：班级按a、b、c、d的顺序依次排列，为避免重复或遗漏现象，教师的监考顺序可用“树形图”表示如下：
所以共有9种不同的监考方法．]
13．BD [A．三位同学依次选择都有4种方法，根据乘法原理有4×4×4＝64种方法：
B．所有选法是64种，甲工厂没有同学去有3×3×3＝27种，
故甲工厂必须有同学去有64－27＝37种：
C．同学A必须去工厂甲，另外两名同学到工厂各有4种方法，故有4×4＝16种：
D．三名同学所选工厂各不相同，不同的安排方法有4×3×2＝24种．故选BD．]
14．36 [因为4个同学总分为0，所以可分为三类：都选甲且两对两错共有6种：都选乙且两对两错有6种：两个选甲一对一错，另两个选乙也一对一错，有6×2×2＝24种．
由分类加法计数原理，N＝6＋6＋24＝36种．]
15．(1)900 (2)9×10n-1 [(1)5位回文数相当于填5个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，第2位和第4位一样，有10种填法，中间一位有10种填法，共有9×10×10＝900(种)填法，即5位回文数有900个．
(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格．结合分步乘法计数原理，知有9×10n-1种填法．]
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