章末综合测评(一) 直线与圆
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若直线过点，则此直线的倾斜角是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
2． 若两直线ax＋2y＝0和x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0平行，则a的值是( )
A．－1或2 B．－1
C．2 D．
3．圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为( )
A． B．2
C．3 D．3
4．若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝( )
A． B．－
C．1 D．－1
5．以A，B为端点的线段的垂直平分线方程是( )
A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0
6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( )
A． B．2
C． D．2
7．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m＝( )
A．±2 B．±
C．± D．±3
8．不论a为何数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列过点的直线方程是( )
A．y－2＝k(x＋1) B．k＝
C．x＋1＝0 D．y－2＝0
10．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且||＝||，其中O为原点，则实数a的值可能为( )
A．2 B．－2
C． D．－
11．已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________．
13．已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值________．
14．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则|OP|的最小值为________；四边形PAOB面积的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2且l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
16．(15分)已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1)．
17．(15分)已知一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x所截得的弦长为2，求该圆的方程．
18．(17分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于点P，Q，
(1)求直线PQ的方程；
(2)求线段PQ的取值范围．
19．(17分)已知圆C的圆心在直线l：2x－y＝0上，且与直线l1：x－y＋1＝0相切．
(1)若圆C与圆x2＋y2－2x－4y－76＝0外切，试求圆C的半径；
(2)满足已知条件的圆显然不止一个，但它们都与直线l1相切，我们称l1是这些圆的公切线．这些圆是否还有其他公切线？若有，求出公切线的方程，若没有，说明理由．
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章末综合测评(一)
1．A [由k＝，得直线的倾斜角为30°．]
2．C [由a(a－1)－1×2＝0，得a＝－1或2，
经检验a＝－1时，两直线重合，所以a＝2．]
3．D [化圆的方程为标准方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，所以该圆的圆心(1，－3)到直线x－y＋2＝0的距离为．]
4．A [若直线是圆的对称轴，则直线过圆心坐标(a，0)，所以由2a＋0－1＝0，解得a＝．]
5．B [∵kAB＝，AB的中点坐标为(－2，2)，
∴所求直线方程为y－2＝－3(x＋2)，即3x＋y＋4＝0．故选B．]
6．D [由题意得直线方程为y＝x，圆的方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心到直线的距离d＝＝1，弦长|AB|＝2．]
7．C [数形结合，m为直线在y轴上的截距，m＝±．]
8．D [由(a－3)x＋2ay＋6＝0，得(x＋2y)a＋(6－3x)＝0．
令
∴直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过定点(2，－1)．从而该直线恒过第四象限．]
9．ACD [经检验，只有B不正确．]
10．AB [由||，得OA⊥OB，又|OA|＝|OB|，∴△OAB是等腰直角三角形，∴圆心到直线x＋y＝a即x＋y－a＝0的距离d＝r，即×2，解得a＝±2．]
11．ACD [设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，4＋＝10，故A正确．
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4＝1，故B不正确．
过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，
如图所示，连接MB，MN，MQ，
则当∠PBA最小时，点P与N重合，
|PB|＝，
当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，故C，D都正确．综上，选ACD．]
12．8 [圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，
圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，
∴|C1C2|＝5．
又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，
∴线段AB长度的最大值是
|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8．]
13．2 [设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知☉C的圆心C(1，0)，半径R＝2，圆心C到直线l的距离d＝，|AB|＝2．由S△ABC＝，得，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±．故答案可以为2．]
14．
2 8 [如图所示，因为S四边形PAOB＝2S△POA．又OA⊥AP，所以S四边形PAOB＝2×|OA|·|PA|＝2．
为使四边形PAOB面积最小，当且仅当|OP|达到最小，
即为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离|OP|min＝．
故所求最小值为2＝8．]
15．解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0，①
又l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0．②
解①②组成的方程组得
(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，
∴直线l1的斜率存在．
∴k1＝k2，即＝1－a．③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l1∥l2，
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，
即＝－(－b)．④
由③④联立，解得
经检验此时的l1与l2不重合，故所求值为
16．解：(1)设切线方程为x＋y＋b＝0(b≠－4)，
则，
∴b＝1±2，
∴切线方程为x＋y＋1±2＝0．
(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，
则，∴m＝±5，
∴切线方程为2x＋y±5＝0．
(3)∵kAC＝，
∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，
∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，
即3x＋y－11＝0．
17．解：法一：∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
∴设所求圆的圆心为(3a，a)，
又所求圆与y轴相切，∴半径r＝3|a|，
又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2，
圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝，
∴d2＋()2＝r2，
即2a2＋7＝9a2，
∴a＝±1．
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，
即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0．
法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心(a，b)到直线y＝x的距离为，
∴r2＝＋7，
即2r2＝(a－b)2＋14．①
由于所求圆与y轴相切，
∴r2＝a2，②
又∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
∴a－3b＝0，③
联立①②③，解得
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，
即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0．
法三：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心坐标为，半径r＝．
在圆的方程中，令x＝0，
得y2＋Ey＋F＝0．
由于所求圆与y轴相切，
∴Δ＝0，则E2＝4F．①
圆心到直线y＝x的距离为
d＝，
由已知得d2＋()2＝r2，
即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．②
又圆心在直线x－3y＝0上，
∴D－3E＝0．③
联立①②③，解得
故所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0．
18．解：(1)依题意，A，P，C，Q四点共圆，其中线段AC是该圆的直径，故该圆的方程为＝0，
所以直线PQ的方程为x0x－3y＋7＝0．
(2)由圆的弦长公式得
＝ 2，
所以线段PQ的取值范围是．
19．解：(1)设圆C的圆心坐标为(a，2a)，
则半径r＝，两圆的圆心距为r，
因为两圆外切，所以r＝r＋9，所以r＝＋1．
(2)如果存在另一条切线，则它必过l与l1的交点(1，2)，
①若斜率不存在，则直线方程为x＝1，
圆心C到它的距离|a－1|＝r＝，
由于方程需要对任意的a都成立，因此无解，
所以它不是公切线．
②若斜率存在，设公切线方程为y－2＝k(x－1)，
则d＝对任意的a都成立，
，
两边平方并化简得k2－8k＋7＝0，解得k＝1或k＝7，
当k＝1时，直线与l1重合，
当k＝7时，直线方程为7x－y－5＝0，
故还存在一条公切线，
其方程为7x－y－5＝0．
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