章末综合测评(二) 圆锥曲线
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．椭圆＝1的右焦点到直线y＝x的距离是( )
A． B．
C．1 D．
2．椭圆＝1的焦点为F1，F2，AB是过椭圆焦点F1的弦，则△ABF2的周长是( )
A．20 B．12
C．10 D．6
3．若双曲线过点(m，n)(m>n>0)，且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点( )
A．在x轴上
B．在y轴上
C．在x轴或y轴上
D．无法判断是否在坐标轴上
4．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝( )
A． B．
C． D．
5．椭圆C：＋y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA1斜率的取值范围是[1，2]，那么直线PA2斜率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
6．方程5＝|3x－4y－6|表示的曲线为( )
A．抛物线 B．椭圆
C．双曲线 D．圆
7．已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
8．双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P．已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知椭圆C1：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝，则下列各项正确的是( )
A．＝2 B．e1e2＝
C．＝ D．＝1
10．抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B．则( )
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
11．双曲线＝1的离心率为e1，双曲线＝1的离心率为e2，则e1＋e2的值不可能是( )
A．3 B．2
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知圆C过双曲线＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．
13．圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为________．
14．已知椭圆C：＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知双曲线－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程．
16．(15分)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A，B两点．
(1)写出C的方程；
(2)若⊥，求k的值；
17．(15分)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4．
(1)求p；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且＝0，求△MFN面积的最小值．
18．(17分)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2，记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
19．(17分)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点D，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，＝3．
(1)求C的方程；
(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β．当α－β取得最大值时，求直线AB的方程．
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1．B [右焦点F(1，0)，∴d＝．]
2．A [由椭圆的定义知，△ABF2的周长为4×5＝20．]
3．A [∵m>n>0，∴点(m，n)在第一象限且在直线y＝x的下方，故焦点在x轴上．]
4．D [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0．由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，Δ＝(4k2－8)2－16k4＝－64k2＋64>0，所以0根据抛物线的定义得，|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋2．因为|FA|＝2|FB|，所以x1＝2x2＋2， ②
由①②得x2＝1(x2＝－2舍去)，所以B(1，2)，代入y＝k(x＋2)得k＝．]
5．C [由椭圆C：＋y2＝1的方程得a2＝2，b2＝1．
由椭圆的性质可知·．
∴．
∵∈[1，2]，∴．]
6．A [由已知得 ，根据抛物线的定义，方程5＝|3x－4y－6|表示的曲线为抛物线．]
7．A [设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝m，所以C的离心率e＝．]
8．D [不妨取渐近线y＝x，此时直线PF2的方程为y＝－(x－c)，与y＝x联立，解得．
因为直线PF2与渐近线y＝x垂直，所以PF2的长度即为点F2(c，0)到直线y＝x(即bx－ay＝0)的距离，由点到直线的距离公式，得|PF2|＝＝b，所以b＝2．
因为F1(－c，0)，P，且直线PF1的斜率为，所以，化简得，又b＝2，c2＝a2＋b2，所以，整理得a2－2a＋2＝0，即(a－)2＝0，解得a＝＝1，故选D．]
9．BD [因为·|，所以△MF1F2为等腰直角三角形．
设椭圆的半焦距为c，则c＝b＝a，所以e1＝．
在焦点△PF1F2中，∠F1PF2＝，设|PF1|＝x，|PF2|＝y，双曲线C2的实半轴长为a'，
则c2，故(x－y)2＝x2＋y2－xy－xy＝，所以(a')2＝，即e2＝，
故，e1e2＝＝2，＝1，故选BD．]
10．ABD [A选项，抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，
☉A的圆心(0，4)到直线x＝－1的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l与☉A相切，A选项正确：
B选项，当P，A，B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标yP＝4，由＝4xP，得到xP＝4，故P(4，4)，
此时切线长|PQ|＝，B选项正确：
C选项，当|PB|＝2时，xP＝1，此时＝4xP＝4，故P(1，2)或P(1，－2)，
当P(1，2)时，A(0，4)，B(－1，2)，kPA＝＝－2，kAB＝＝2，不满足kPAkAB＝－1：
当P(1，－2)时，A(0，4)，B(－1，－2)，kPA＝＝－6，kAB＝＝6，
不满足kPAkAB＝－1：
于是PA⊥AB不成立，C选项错误：
D选项，法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，|PB|＝|PF|，又F(1，0)，
于是|PA|＝|PB|时，P点的存在性问题转化成|PA|＝|PF|时P点的存在性问题，
A(0，4)，F(1，0)，AF中点为，AF中垂线的斜率为－，于是AF的中垂线方程为y＝，与抛物线方程y2＝4x联立可得y2－16y＋30＝0，
Δ＝162－4×30＝136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个P点，使得|PA|＝|PF|，D选项正确．
法二：设点直接求解
设P，由PB⊥l可得B(－1，t)，又A(0，4)，|PA|＝|PB|，根据两点间的距离公式，得＋1，
整理得t2－16t＋30＝0，
Δ＝162－4×30＝136>0，则关于t的方程有两个解，
即存在两个这样的P点，D选项正确．
故选ABD．]
11．CD [(e1＋e2)2＝＋2e1e2 ＝≥2＋2＋2×2＝8，当且仅当a＝b时取等号．故选CD．]
12． [由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为．]
13． [由题意知，圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为F(1，0)，故＝1，即p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x．
由可得x2＋2x－24＝0，
故x＝4或x＝－6(舍去)，
故A(4，±4)，故直线AF的方程为y＝±(x－1)，即4x－3y－4＝0或4x＋3y－4＝0，
故原点到直线AF的距离为d＝．]
14．13 [∵椭圆的离心率为e＝，∴a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2，
∴椭圆的方程为＝1，即3x2＋4y2－12c2＝0，不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示，
∵|AF2|＝a，|OF2|＝c，a＝2c，
∴∠AF2O＝，
∴△AF1F2为正三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF2的垂直平分线，∴直线DE的斜率为，斜率倒数为，直线DE的方程：x＝y－c，代入椭圆方程3x2＋4y2－12c2＝0，整理化简得13y2－6 cy－9c2＝0，
判别式Δ＝(6 c)2＋4×13×9c2＝62×16×c2，
∴|DE|＝|y1－y2|＝2×＝6，∴c＝，得a＝2c＝，
∵DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，∴△ADE的周长等于△F2DE的周长，利用椭圆的定义得到△F2DE的周长为|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝|DF1|＋|DF2|＋|EF1|＋|EF2|＝2a＋2a＝4a＝13．]
15．解：法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1，
由 消去y，
整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝．
∵A(3，－1)为MN的中点，
∴＝3，即＝3，解得k＝－．
当k＝－时，满足Δ>0，符合题意，∴所求直线MN的方程为y＝－，即3x＋4y－5＝0．
法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上，
∴
两式相减，得，
∴．
∵点A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2．
∴kMN＝．
经验证，该直线MN存在．
∴所求直线MN的方程为y＋1＝－(x－3)，即3x＋4y－5＝0．
16．解：(1)设P，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b＝＝1，
故曲线C的方程为x2＋＝1．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
消去y并整理，得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，Δ>0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝－．
若，即x1x2＋y1y2＝0．
而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，
于是x1x2＋y1y2＝－＋1＝0，
化简得－4k2＋1＝0，所以k＝±．
17．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0，
由Δ1＝16p2－8p>0，得p>．
由根与系数的关系，可得y1＋y2＝4p，y1y2＝2p，
所以|AB|＝··，解得p＝2或p＝－(舍去)，
故p＝2．
(2)设M(x3，y3)，N(x4，y4)，由(1)知抛物线C：y2＝4x，则点F(1，0)．
因为·＝0，所以∠MFN＝90°，则S△MFN＝(x3＋1)(x4＋1)＝(x3x4＋x3＋x4＋1)． (*)
①当直线MN的斜率不存在时，点M与点N关于x轴对称，因为∠MFN＝90°，
所以直线MF与直线NF的斜率一个是1，另一个是－1．
不妨设直线MF的斜率为1，则MF：y＝x－1，
由得x2－6x＋1＝0，
得
代入(*)式计算易得，当x3＝x4＝3－2时，△MFN的面积取得最小值，为4(3－2)．
②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m，易知k≠0．
由得k2x2－(4－2km)x＋m2＝0，
Δ2＝(4－2km)2－4m2k2>0，得mk<1，
则
y3y4＝(kx3＋m)(kx4＋m)＝k2x3x4＋mk(x3＋x4)＋m2＝．
又·＝(x3－1，y3)·(x4－1，y4)＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋y3y4＝0，
所以＝0，化简得m2＋k2＋6km＝4．
所以S△MFN＝(x3x4＋x3＋x4＋1)
＝
＝＋2＋1．
令t＝，则S△MFN＝t2＋2t＋1，
因为m2＋k2＋6km＝4，
所以＋6＋1＝>0，
即t2＋6t＋1>0，得t>－3＋2，
从而得S△MFN＝t2＋2t＋1>12－8＝4(3－2)．
综上所述，△MFN面积的最小值为4(3－2)．
18．解：(1)因为|MF1|－|MF2|＝2<|F1F2|＝2，
所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支．
设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，
半焦距为c，则2a＝2，c＝，
得a＝1，b2＝c2－a2＝16，
所以点M的轨迹C的方程为x2－＝1(x≥1)．
(2)设T，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为0，设直线AB的方程为y－t＝k1(k1≠0)，直线PQ的方程为y－t＝k2(k2≠0)，
由
得(16－)x2－2k1－16＝0．
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，xA>，xB>，
易知16－≠0，
则xAxB＝，xA＋xB＝，
所以|TA|＝，
|TB|＝，
则|TA|·|TB|＝＝(1＋＝(1＋)·＝．
同理得|TP|·|TQ|＝．
因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，
所以，
所以，
即，又k1≠k2，所以k1＝－k2，
即k1＋k2＝0．
故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0．
19．解：(1)抛物线的准线为x＝－，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时＝3，所以p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x．
(2)设M，N，A，B，直线MN：x＝my＋1，
由 可得y2－4my－4＝0，Δ>0，y1y2＝－4．
当直线MN的斜率存在时，
由斜率公式可得kMN＝，kAB＝，
直线MD：x＝·y＋2，代入抛物线方程可得y2－·y－8＝0，
Δ>0，y1y3＝－8，所以y3＝2y2，同理可得y4＝2y1，
所以kAB＝，
又因为直线MN，AB的倾斜角分别为α，β，
所以kAB＝tan β＝，
若要使α－β最大，则β∈，
设kMN＝2kAB＝2k>0，则tan，
当且仅当时，等号成立，
所以当α－β最大时，kAB＝，设直线AB：x＝y＋n，
代入抛物线方程可得y2－4y－4n＝0，
Δ>0，y3y4＝－4n＝4y1y2＝－16，所以n＝4，
所以直线AB：x＝y＋4．
当直线MN斜率不存在时，α＝β＝90°，α－β＝0°，tan(α－β)<．
综上，直线AB的方程为x＝y＋4，即x－y－4＝0．
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