章末综合测评(五) 概率
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．一个袋中有5个白球和3个红球，从中任取3个，则下列叙述中是离散型随机变量的是( )
A．所取球的个数 B．其中所含白球的个数
C．所取白球和红球的总数 D．袋中球的总数
2．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则p1等于( )
ξ －1 2 4
P p1
A．0 B．
C． D．1
3．投掷3枚质地均匀的硬币，至少有一枚正面向上的概率是( )
A． B．
C． D．
4．在比赛中，如果运动员A胜运动员B的概率是，假设每次比赛互不影响，那么在五次比赛中运动员A恰有三次获胜的概率是( )
A． B．
C． D．
5．一条口袋装有2个白球和3个黑球，第一次摸出1个白球后放回，则再摸出1个白球的概率是( )
A． B．
C． D．
6．盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )
A． B．
C． D．
7．下列给出的命题中，错误的命题个数有( )
①互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；
②事件A与事件B中至少有一个发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率大；
③若P(A)>0，P(B)>0，则事件A，B相互独立与A，B互斥可以同时成立；
④对于事件A，B，C，若P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)成立，则A，B，C两两独立．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
8．某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是( )
A．3 B．
C．2 D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列结论正确的是( )
A．若a是常数，则Ea＝a
B．若X～B(n，p)，则EX＝np
C．若X～H(N，M，n)，则EX＝
D．若X～N(μ，σ2)，则EX＝σ2
10．下列说法有可能成立的是( )
A．P(B|A)
B．P(B)＝P(A)·P(B|A)
C．P(AB)＝P(A)·P(B)
D．P(A|B)＝P(B|A)
11．已知0X m m－1
P p 1－p
A．m＝1 B．m＝
C．DX＝ D．p＝
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X的数学期望为________．
13．甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为________；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为________．
14．10根大小形状完全相同的签中有3根彩签，若甲先抽一签，然后由乙再抽一签，则甲抽中彩签的概率为________；甲、乙都抽中彩签的概率为______；乙抽中彩签的概率为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60，100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．
(1)求此次参加竞赛的学生总数；
(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，则受奖学生的分数线是多少？
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4．
16．(15分)某校高二年级组织“知识竞答”活动，每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得－10分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得－20分．规定：每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某参赛者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互之间没有影响，求：
(1)这位参赛者仅回答正确两个问题的概率；
(2)这位参赛者闯关成功的概率．
17．(15分)某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
18．(17分)某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．
(1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；
(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．
19．(17分)某企业打算处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售．已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种可能：10%或者20%，两种可能对应的概率均为0.5．假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱，现处理价格为每箱8 400元，遇到废品不予更换．以一箱产品中正品的价格期望作为决策依据．
(1)在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；
(2)现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验．
①若此箱出现的废品率为20%，记抽到的废品数为X，求X的分布列和数学期望；
②若已发现在抽取检验的2件产品中，恰有一件是废品，判断是否可以购买．
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1．B [A、C选项中所取球的个数是常数3：D选项中球的总数是常数8：只有B选项中所取3球中所含白球的个数是可以一一列举的变量，故应选B．]
2．B [由分布列性质得＋p1＝1，解得p1＝．]
3．D [至少有一枚正面向上的对立事件为“三枚均为反面向上”，其概率为，∴所求概率为1－．]
4．B [所求概率为．]
5．C [由于是有放回摸球，所以第二次摸出1个白球，与第一次摸出白球无关，即相互独立，所以第二次摸出白球的概率为．]
6．C [设“第一次摸出新球”为事件A，“第二次摸出新球”为事件B，则P(A)＝，P(AB)＝，
所以P(B|A)＝．故选C．]
7．C [①根据互斥事件与对立事件的定义可知，正确：
②当A，B是对立事件时，事件A与事件B中至少有一个发生的概率和A与B中恰有一个发生的概率相等，故错误：
③若A，B互斥，则A，B不可能同时发生，若A，B相互独立，则A，B发生与否，对对方没有影响，所以A，B可以同时发生，故错误：
④对于事件A，B，C，若P(AB)＝P(A)P(B)，P(BC)＝P(B)P(C)，P(AC)＝P(A)P(C)，以及P(ABC)＝P(A)·P(B)P(C)成立，则A，B，C两两独立，
缺一不可，故错误．故选C．]
8．B [在一轮投篮中，甲通过的概率为p＝，不通过的概率为．
由题意可知，甲3个轮次通过的次数X的取值分别为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝：
P(X＝1)＝：
P(X＝2)＝：
P(X＝3)＝．
∴随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
数学期望EX＝0×，或由二项分布的期望公式可得EX＝．]
9．ABC
10．BCD [∵P(B|A)＝，而0∴P(B|A)≥P(AB)，故A不成立：
∵P(AB)＝P(A)P(B|A)，
∴当P(AB)＝P(B)时，B成立：
当A、B相互独立时，P(AB)＝P(A)·P(B)，故C可能成立：
P(A|B)＝，P(B|A)＝，当P(A)＝P(B)时，P(A|B)＝P(B|A)，故D成立．故选BCD．]
11．AC [EX＝mp＋(m－1)(1－p)＝m＋p－1，
DX＝[m－(m＋p－1)]2p＋[(m－1)－(m＋p－1)]2(1－p)
＝(1－p)2p＋p2(1－p)＝p(1－p)＝p－p2，
∴m＋p－1＝p－p2，∴m＝1－p2，
又0故A不可能成立：
当p＝时，m＝，故B可能成立：
令p－p2＝，即p2－p＋＝0．
Δ＝(－1)2－4×1×＝－2<0，
方程无解，故C不可能成立：
当m＝时，p＝，故D可能成立，故选AC．]
12．2．376 [X的可能取值为3，2，1，0．
P(X＝3)＝0.6，P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24，P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096，P(X＝0)＝0.43＝0.064．
所以EX＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376．]
13． [法一：设A＝“从甲盒子中取一个球，是黑球”，B＝“从乙盒子中取一个球，是黑球”，C＝“从丙盒子中取一个球，是黑球”，由题意可知P(A)＝40%＝，P(B)＝25%＝，P(C)＝50%＝，现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝．设D1＝“取到的球是甲盒子中的”，D2＝“取到的球是乙盒子中的”，D3＝“取到的球是丙盒子中的”，E＝“取到的球是白球”，由题意可知P(D1)＝，P(D2)＝，P(D3)＝，P(E|D1)＝1－，P(E|D2)＝1－，P(E|D3)＝1－，所以P(E)＝P(D1E＋D2E＋D3E)＝P(D1E)＋P(D2E)＋P(D3E)＝P(D1)P(E|D1)＋P(D2)P(E|D2)＋P(D3)P(E|D3)＝．
法二：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5，4，6，其中甲盒子中黑球的个数为2，白球的个数为3：乙盒子中黑球的个数为1，白球的个数为3：丙盒子中黑球的个数为3，白球的个数为3．则从三个盒子中各取一个球，共有5×4×6种结果，其中取到的三个球都是黑球有2×1×3种结果，所以取到的三个球都是黑球的概率为：将三个盒子中的球混合在一起共有5＋4＋6＝15(个)球，其中白球共有3＋3＋3＝9(个)，所以混合后任取一个球，共有15种结果，其中取到白球有9种结果，所以混合后任取一个球，是白球的概率为．]
14． [设事件A为“甲抽中彩签”，事件B为“乙抽中彩签”，事件C为“甲、乙都抽中彩签”，且C＝AB，则P(A)＝，P(C)＝P(AB)＝，P(B)＝P(AB＋B)＝P(AB)＋P(B)＝．]
15．解：设学生的得分情况为随机变量X，X~N(60，100)，则μ＝60，σ＝10．
(1)P(30∴P(X>90)＝[1－P(30∴学生总数约为＝10 000(人)．
(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8．
设分数线为x0，则P(X≥x0)＝0.022 8．
∴P(120－x0又知P(60－2×10∴x0＝60＋2×10＝80(分)．
即受奖学生的分数线为80分．
16．解：(1)这位参赛者仅回答正确两个问题的概率为：
P＝．
(2)这位参赛者闯关成功的情况分为3种：
①三个问题均回答正确，概率为：，
②第一题回答正确，第二题回答错误，第三题回答正确，概率为：，
③第一题回答错误，第二题回答正确，第三题回答正确，概率为：，
∴这位参赛者闯关成功的概率为P＝．
17．解：(1)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8，5次预报相当于5次独立重复试验，
2次准确的概率为P＝×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05．
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝×0.25＋×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01．
所以所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99．
所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99．
(3)说明第1，2，4，5次中恰有1次准确．
所以概率为P＝×0.8×0.23×0.8＝0.020 48≈0.02，所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02．
18．解：(1)由题设知，X的可能取值为10，5，2，－3，且
P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，
P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，
P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，
P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02．
由此得X的分布列为
X －3 2 5 10
P 0.02 0.08 0.18 0.72
(2)设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有(4－n)件．
由题设知4n－(4－n)≥10，解得n≥．
又n∈N，得n＝3，或n＝4．所以P＝×0.83×0.2＋×0.84＝0.819 2．
故所求概率为0.819 2．
19．解：(1)在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望为100×(1－0.2)×100×0.5＋100×(1－0.1)×100×0.5＝8 500，
∵8 500>8 400，∴在不开箱检验的情况下，可以购买．
(2)①X的可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝×0.20×0.82＝0.64，
P(X＝1)＝×0.21×0.81＝0.32，
P(X＝2)＝×0.22×0.80＝0.04，
∴X的分布列为
X 0 1 2
P 0.64 0.32 0.04
EX＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4．
②设事件A：发现在抽取检验的2件产品中，恰有一件是废品，则P(A)＝×0.1×0.9×0.5＝0.25，一箱产品中，设正品的价格期望为η元，则η＝8 000，9 000，
设事件B1：抽取废品率为20%的一箱，则P(η＝8 000)＝P(B1|A)＝＝0.64，
设事件B2：抽取废品率为10%的一箱，则P(η＝9 000)＝P(B2|A)＝＝0.36，
∴Eη＝8 000×0.64＋9 000×0.36＝8 360，
∵8 360<8 400，∴已发现在抽取检验的2件产品中，恰有一件是废品，则不可以购买．
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