章末综合测评(三)
1．A [∵抛物线C的方程可化为x2＝y，
∴其焦点坐标为．
故选A．]
2．C [因为实轴长2a＝4，即a＝2，
若双曲线焦点在x轴上，则b＝，则双曲线方程为＝1；
若双曲线焦点在y轴上，则b＝，则双曲线方程为＝1．
故选C．]
3．C [曲线＝1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8的椭圆．曲线＝1(k<9且k≠0)表示焦点在y轴上，长轴长为2，短轴长为2，焦距为2＝8，离心率为的椭圆．
故选C．]
4．C [已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点P在C上，所以a＝2，c＝1．
设|PF1|＝t，a－c≤|PF1|≤a＋c，则t∈[1，3]，则|PF2|＝4－t，
则|PF1|2＋|PF2|2＝t2＋(4－t)2＝2(t－2)2＋8，又t∈[1，3]，
则|PF1|2＋|PF2|2∈[8，10]，故选C．]
5．C [如图，∵双曲线C：＝1的左焦点为F(－5，0)，
∴点A(5，0)是双曲线的右焦点，
又b＝4，∴虚轴长为2b＝8，
∴|PQ|＝16．
∵|PF|－|PA|＝2a＝6，①
|QF|－|QA|＝2a＝6，②
∴①＋②得|PF|＋|QF|－|PQ|＝12，
∴△PFQ的周长l＝|PF|＋|QF|＋|PQ|＝12＋2|PQ|＝44．故选C．]
6．C [设椭圆的方程为＝1(a>b>0)，由题意得a2＝b2＋4．
由
消去x得(a2＋3b2)y2＋8b2y＋b2(16－a2)＝0．
∵椭圆与直线有且仅有一个交点，
∴Δ＝(8b2)2－4(a2＋3b2)·b2(16－a2)＝4a2b2·(a2＋3b2－16)＝0，又c＝2，∴a2＝b2＋4，解得a2＝7，从而长轴长为2．]
7．C [由题意可知，|AB|＝|OF1|＝|AF1|＝c．
∵多边形ABF2CDF1为正六边形，∴∠BOF2＝60°，∴＝tan 60°＝，∴双曲线C2的离心率e2＝＝2．
连接AF2(图略)，则|AF2|＝c，又∵|AF1|＝c，
∴|AF1|＋|AF2|＝c＋c＝2a1，
∴椭圆C1的离心率e1＝－1，∴C1与C2的离心率之和为2＋＋1，故选C．]
8．D [已知抛物线的方程为y2＝8x，
则其焦点坐标为F(2，0)，准线方程为x＝－2，如图，
设抛物线上的点M到其准线的距离为|MM'|，点M到直线y＝2x＋3的距离为|MN|，
由抛物线的定义可知|MM'|＝|MF|，
则|MM'|＋|MN|＝|MF|＋|MN|，
其最小值为焦点F(2，0)到直线y＝2x＋3的距离，
结合点到直线的距离公式，可得d＝，
即抛物线y2＝8x上的点到其准线的距离与到直线y＝2x＋3的距离之和的最小值为．
故选D．]
9．BD [对于A，若方程＝1表示椭圆，
则满足
解得1当t＝3时，此时方程为x2＋y2＝2表示圆，所以A不正确；
对于B，当t<1时，5－t>0，t－1<0，此时表示焦点在x轴上的双曲线，所以B正确；
对于C，当t＝0时，方程＝1所表示的曲线为双曲线，此时双曲线的焦距为2，所以C不正确；
若方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
则满足解得310．BC [对于A，因为直线y＝x平行，
则直线y＝x＋1与双曲线只有一个交点，即A错误；
对于B，两曲线渐近线方程均为y＝±x，即B正确；
对于C，双曲线C：＝1的右焦点为(，0)，
则该点到渐近线y＝＝3，即C正确；
对于D，因为c2＝a2＋b2＝13，所以双曲线C的焦点坐标为(，0)和(－，0)，即D错误．故选BC．]
11．BC [因为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(2，0)，
所以＝2，则p＝4，则抛物线C：y2＝8x，准线方程为x＝－2，
则直线的方程为y＝，设B(x1，y1)，A(x2，y2)，
联立消去y并整理得3x2－20x＋12＝0，
解得
所以A(6，4)，B，
所以|AB|＝x1＋2＋x2＋2＝，
S△AOB＝|OF|×|y1－y2|＝×2×，
故选项BC正确；
又tan∠AOF＝kOA＝，tan∠BOF＝－kOB＝2，
所以tan∠AOF≠tan∠BOF，故∠AOF≠∠BOF，故A错误；
因为＝(6，4)，，
所以·＝(6，4)·＝4－16＝－12<0，
即<>为钝角，所以∠AOB为钝角，故D错误．
故选BC．]
12．(教材原题·P127习题3.2T1)
17 [把双曲线的方程化为＝1．因为a＝8，由双曲线的定义可知，点P到两个焦点距离的差的绝对值等于16，故点P到另一个焦点的距离为2a＋1＝17．]
13． [由题意焦点在y轴上的椭圆＝1(a>)，
把直线方程y＝3x－2代入椭圆方程并整理得(a2＋18)x2－24x＋2(4－a2)＝0，Δ>0，
设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系，可得x1＋x2＝，椭圆，
由中点坐标公式可得×，所以a2＝6，可得a＝．]
14．2x＋y－2＝0或2x－y－2＝0 [设|AB|＝2r(2r≥4)，AB的中点为M，MN⊥y轴于点N，过A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A1，B1，如图所示．
由抛物线的定义知
2(|MN|＋1)＝|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝|AB|＝2r，故|MN|＝r－1，所以|DE|＝2r，
即16r2－50r＋25＝0，解得r＝(舍去)，故M的横坐标为，又|DE|＝|AB|，所以直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将y＝k(x－1)代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
则x1＋x2＝＝3，解得k＝±2，故直线l的方程为2x＋y－2＝0或2x－y－2＝0．]
15．解：(1)设M(x，y)，由题意得·＝24，x≠±1，
化简整理得x2－＝1，
所以点M的轨迹方程为x2－＝1(x≠±1)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝1，＝1，
所以(x1＋x2)(x1－x2)－＝0，
所以＝24，故kAB×＝24，所以kAB＝8，
所以直线l的斜率为8．
16．(教材原题·P146复习参考题3T15)
解：如图，以连接F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点，建立平面直角坐标系．对于抛物线，有＝1 763＋529＝2 292，所以p＝4 584．对于双曲线，有解得a＝775.5，c＝1 304.5．因此，b2＝c2－a2＝1 100 320．所以，所求双曲线的方程是＝1(x≥775.5)．因为抛物线的顶点横坐标是－(1 763－775.5)＝－987.5．所以，所求抛物线的方程为y2＝9 168(x＋987.5)．
17．解：(1)设P(x，y)，则，整理得3x2＋4y2＝12，
∴曲线C的方程为＝1．
(2)由题意设直线l：y＝x＋m，
联立消去y并整理得7x2＋8mx＋4m2－12＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Δ＝64m2－28×(4m2－12)>0，得m2<7，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，则|AB|＝，
整理得m2＝1，满足m2<7，∴m＝±1．
即直线l的方程为y＝x＋1或y＝x－1．
18．解：(1)因为点M在抛物线上，且点M的横坐标为4，|MF|＝5，
所以|MF|＝4＋＝5，解得p＝2，则抛物线C的方程为y2＝4x．
(2)不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，E(x4，y4)，直线l1的方程为y＝k1(x－1)，联立x2－(2＋4)x＋＝0，
此时Δ＝(2＋4)2－4＋16>0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝，同理得x3＋x4＝，
因为直线l1，l2相互垂直，所以k1k2＝－1，
所以|AB|＋|DE|＝x1＋x2＋x3＋x4＋2p＝＋8≥2＋8＝16，
当且仅当k1＝－k2＝1或k1＝－k2＝－1时，等号成立，
故|AB|＋|DE|的最小值为16．
19．解：(1)由题意可知b＝，c＝，所以a＝＝2，
故椭圆E的方程为＝1，离心率e＝．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋t(k≠0)，
联立消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－4＝0．
所以Δ＝(4kt)2－4(1＋2k2)(2t2－4)>0，即4k2－t2＋2>0，
由根与系数的关系得
若直线BD的斜率为0，由椭圆的对称性可得D(－x2，y2)，
因为A，C，D三点共线，所以kAC＝kCD，
所以，即x1y2＋x2y1－(x1＋x2)＝0．
由y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，得x1(kx2＋t)＋x2(kx1＋t)－(x1＋x2)＝0，整理得2kx1x2＋(t－1)(x1＋x2)＝0，
所以2k·＋(t－1)·＝0，解得t＝2．
7/7章末综合测评(三) 圆锥曲线的方程
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线C：y＝x2的焦点坐标为( )
A．
C．
2．已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，实轴长为4，则双曲线的方程为( )
A．＝1
B．＝1
C．＝1或＝1
D．＝1或＝1
3．曲线＝1与曲线＝1(k＜9且k≠0)的( )
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
4．已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点P在C上，则|PF1|2＋|PF2|2的取值范围是( )
A．[1，16] B．[4，10]
C．[8，10] D．[8，16]
5．已知F为双曲线C：＝1的左焦点，P，Q为双曲线C右支上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则△PFQ的周长为( )
A．28 B．36
C．44 D．48
6．已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )
A．3 B．2
C．2 D．4
7．如图，在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C1：＝1(a1＞b1＞0)与双曲线C2：＝1(a2＞0，b2＞0)有相同的焦点F1，F2，C2的渐近线分别交C1于A，C和B，D四点，若多边形ABF2CDF1为正六边形，则C1与C2的离心率之和为( )
A．－1 B．2
C．＋1 D．2
8．抛物线y2＝8x上的点到其准线的距离与到直线y＝2x＋3的距离之和的最小值为( )
A．
C．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若方程＝1所表示的曲线为C，则下面命题中正确的是( )
A．若1B．若t<1，则C为双曲线
C．若C为双曲线，则焦距为4
D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则310．已知双曲线C：＝1，给出以下4个命题，其中为真命题的是( )
A．直线y＝x＋1与双曲线有两个交点
B．双曲线C与＝1有相同的渐近线
C．双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3
D．双曲线C的焦点坐标为(－13，0)，(13，0)
11．已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(2，0)作斜率为的直线交抛物线C于A，B两点，则下列结论一定正确的是( )
A．∠AOF＝∠BOF B．|AB|＝
C．S△AOB＝ D．∠AOB＜90°
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(教材原题·P127习题3.2T1)双曲线4x2－y2＋64＝0上一点P与它的一个焦点的距离等于1，那么点P与另一个焦点的距离等于________．
13．已知焦点在y轴上的椭圆＝1被直线3x－y－2＝0截得的弦的中点横坐标为，则正数a＝________．
14．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，且|DE|＝|AB|，则直线l的方程为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知F1，F2两点坐标分别为(－1，0)，(1，0)，直线MF1与MF2斜率之积为24，过点P(2，6)作直线l交轨迹M于A，B两点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)若P恰为弦AB的中点，求直线l的斜率．
16．(15分)(教材原题·P146复习参考题3T15)综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜．这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚．例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为2 m的反射式望远镜，其光学系统的原理如图(中心截口示意图)所示．其中，一个反射镜PO1Q弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜MO2N弧所在的曲线为双曲线的一个分支．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，其中F2同时又是抛物线的焦点，试根据图示尺寸(单位：mm)，分别求抛物线和双曲线的方程．
17．(15分)已知动点P到定点F(1，0)的距离和它到直线l：x＝4的距离的比是常数，P点的轨迹称为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若倾斜角为的直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|＝，求直线l的方程．
18．(17分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在抛物线上，且点M的横坐标为4，|MF|＝5．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过焦点F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，求|AB|＋|DE|的最小值．
19．(17分)(2024·北京卷)已知椭圆E：＝1(a>b>0)，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．过点(0，t)(t>)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C(0，1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D．
(1)求椭圆E的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
5/5
