微专题强化练(一)
1．C [由平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，AB 平面ABD，所以AB⊥平面BCD，又DC 平面BCD，所以AB⊥DC，又DB⊥DC，
过点D作z轴∥AB，建立空间直角坐标系，如图所示，
设AB＝1，所以BD＝1，DC＝1，BC＝，则A(0，1，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，D(0，0，0)，
所以＝(1，－1，－1)，＝(0，－1，0)，
所以|cos<．
故选C．]
2．D [以点B为坐标原点，AB，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设BC＝1，BB1＝a(a>0)，CP＝λCC1(0≤λ≤1)，则B(0，0，0)，A1(1，0，a)，P(0，1，λa)，所以＝(1，－1，(1－λ)a)，＝(0，1，λa)，又存在唯一的一点P满足PA1⊥BP，所以·＝λ(1－λ)a2－1＝0，则λ2－λ＋＝0，故Δ＝1－＝0，可得a＝2，此时λ＝，所以＝2．故选D．]
3．ABD [在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为边AB的中点，所以AB⊥DE，因为CD∥BE，所以DE⊥CD，因为A'D⊥CD，A'D∩DE＝D，A'D，DE 平面A'DE，
所以CD⊥平面A'DE，
因为CD∥BE，
所以BE⊥平面A'DE，
因为BE 平面A'BE，
所以平面A'DE⊥平面A'BE，故A正确；
因为CD∥BE，CD 平面A'BE，BE 平面A'BE，所以CD∥平面A'BE，又平面A'BE与平面A'CD的交线为l，所以CD∥l，故B正确；
由A知，DE⊥AB，且BE⊥平面A'DE，则DE⊥A'E，且BE⊥A'E，BE⊥DE，以E为原点，分别以EB，ED，EA'所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则B(1，0，0)，A'(0，0，1)，C(2，，0)，D(0，，0)，
所以＝(1，，0)，＝(0，，－1)，＝(1，0，－1)，
由A可知，CD⊥平面A'DE，
故平面A'DE的一个法向量为＝(－2，0，0)，
则cos<，
设BC与平面A'DE所成角为θ，
则cos θ＝，故C不正确；
显然平面A'BE的一个法向量为n＝＝(0，，0)，
设平面A'BD的法向量为m＝(x，y，z)，
则有取y＝1，则x＝z＝，
所以m＝(，1，)，设平面A'BE与平面A'BD的夹角为α，
所以cos α＝|cos|＝，故D正确．]
4． [以点D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，
则D(0，0，0)，B(1，2，0)，A1(1，0，1)，C1(0，2，1)，D1(0，0，1)，
∴＝(0，2，－1)，＝(－1，2，0)，＝(0，2，0)．
设n＝(x，y，z)为平面A1BC1的法向量，
则
令z＝2，则y＝1，x＝2，∴n＝(2，1，2)．
设直线D1C1与平面A1BC1所成的角为α，
则sin α＝|cos5． [建立空间直角坐标系如图所示，设AB＝1，
则F，E，设M(0，y，1)(0≤y≤1)，
则．
∴cos θ＝＝·，
令t＝1－y，则y＝1－t，∵0≤y≤1，∴0≤t≤1，
当t≠0时，cos θ＝····，
当t＝1时，cos θ有最大值，cos θ的最大值为××．
当t＝0时，cos θ＝0．
综上，cos θ的最大值为．]
6．解：(1)证明：由题意知，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，M，N，P(λ，0，1)，
∴，∴·＝0，
∴无论λ取何值，总有AM⊥PN．
(2)由题意知，平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1)，
∴sin θ＝|cos当且仅当λ＝时，等号成立，此时sin θ取得最大值，
由θ∈知，θ也取得最大值，∴tan θ＝2，
故当λ＝时，直线PN与平面ABC所成角θ最大，该角取最大值时的正切值为2．
(3)假设存在点P满足题意，
由(1)可知，，
设平面PMN的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令x＝3，得y＝1＋2λ，z＝2－2λ，∴n＝(3，1＋2λ，2－2λ)，
∵平面PMN与平面ABC的夹角的正弦值为，
∴|cos|＝，
化简得4λ2－14λ＋1＝0，解得λ＝，即，
故当点P满足时，可使得平面PMN与平面ABC的夹角的正弦值为．
4/4微专题强化练(一) 空间向量在立体几何热点问题中的应用
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共41分
一、选择题
1．如图1，将两个全等的等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD，将平行四边形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2，则直线AC与BD所成角的余弦值为( )
A．
C．
2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC，AB⊥BC，若棱C1C上存在唯一的一点P满足PA1⊥BP，则等于( )
A． B．1
C． D．2
3．(多选)如图1，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，E为边AB的中点，将△ADE沿DE折起，使A到A′的位置，如图2，连接A′B，A′C，且A′D⊥CD，平面A′BE与平面A′CD的交线为l，则下列结论中正确的是( )
A．平面A′DE⊥平面A′BE
B．CD∥l
C．BC与平面A′DE所成角的余弦值为
D．平面A′BE与平面A′BD夹角的余弦值为
二、填空题
4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．
5．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cos θ的最大值为________．
三、解答题
6．如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且＝λ．
(1)证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；
(2)当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成角θ最大？并求该角取最大值时的正切值；
(3)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC的夹角的正弦值为，若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由．
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