微专题强化练(四)
1．BC [∵F1(0，－3)，F2(0，3)，∴|F1F2|＝6．
∵a>0，∴|PF1|＋|PF2|＝a＋≥2＝6，
当且仅当a＝，即a＝3时等号成立．
当a＋＝6时，|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，
此时点P的轨迹是线段F1F2；
当a＋>6时，|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，此时点P的轨迹是椭圆．故选BC．]
2．B [方程＝10，
表示平面内到定点F1(2，0)，F2(－2，0)的距离的和是常数10(10>4)的点的轨迹，
∴它的轨迹是以F1，F2为焦点，2a＝10，焦距2c＝4的椭圆，
∴a＝5，c＝2，b＝，∴椭圆的方程是＝1．故选B．]
3．D [圆心C(－1，0)，半径为5，设点M(x，y)，
∵线段AQ的垂直平分线交CQ于点M，
∴|MA|＝|MQ|，
∴|MA|＋|MC|＝|MQ|＋|MC|＝5>|AC|＝2，
由椭圆的定义可得点M的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1，∴b＝，故椭圆方程为＝1．]
4．C [设直线A1P1与A2P2的交点为P(x，y)，A1(－3，0)，A2(3，0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)，∵A1，P1，P共线，
∴， ①
∵A2，P2，P共线，
∴． ②
①×②得， ③
∵P1(x0，y0)在椭圆＝1上，
∴＝1，∴，
将代入③得，
∴点P的轨迹方程为＝1(x≠±3)．]
5．A [设点M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，又P在曲线C上，
所以＝16(y0>0)，即＝1(y0>0)，
即点M的轨迹方程为＝1(y>0)．故选A．]
6．＝1 [由题意得，
整理得2x2＋3y2＝6，即＝1，
所以动点P的轨迹方程是＝1．]
7．＝1(x≠±2) [设点P的坐标为(x，y)(x≠±2)，
依题意，有×，
化简并整理，得＝1(x≠±2)．
∴动点P的轨迹C的方程为＝1(x≠±2)．]
8．＝1 [圆B的方程化为标准方程为(x＋2)2＋y2＝36，
其圆心为B(－2，0)，半径R＝6．
设动圆圆心M的坐标为(x，y)，半径为r，
由题意可知，|MB|＝R－r，又r＝|MA|，所以|MB|＝R－|MA|，故|MB|＋|MA|＝6>|AB|＝4．由椭圆的定义知，点M的轨迹是以B(－2，0)，A(2，0)为焦点的椭圆．设椭圆的方程为＝1(a>b>0)，则a＝3，c＝2，b＝，所以动圆圆心M的轨迹方程是＝1．]
9．解：设点P，M的坐标分别为(x1，y1)，(x，y)，
∵在已知椭圆的方程中，a＝3，b＝1，
∴c＝，
则已知椭圆的两焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)．
∵△PF1F2存在，∴y1≠0．
由三角形重心坐标公式，
得
∵y1≠0，∴y≠0．∵点P在椭圆上，∴＝1，
∴＋(3y)2＝1(y≠0)，
故△PF1F2的重心M的轨迹方程为x2＋9y2＝1(y≠0)．
3/3微专题强化练(四) 与椭圆有关的轨迹问题
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共54分
一、选择题
1．(多选)设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a＞0)，则点P的轨迹是( )
A．圆 B．线段
C．椭圆 D．直线
2．设P(x，y)满足＝10，则P点的轨迹方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
3．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线交CQ于点M，则M的轨迹方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
4．设A1，A2是椭圆＝1与x轴的两个交点，P1，P2是椭圆上垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( )
A．＝1(x≠±3)
B．＝1(x≠±3)
C．＝1(x≠±3)
D．＝1(x≠±3)
5．(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )
A．＝1(y>0) B．＝1(y>0)
C．＝1(y>0) D．＝1(y>0)
二、填空题
6．若动点P(x，y)到点(1，0)的距离与到定直线x＝3的距离之比是，则动点P的轨迹方程是________．
7．在平面直角坐标系中，已知点A(2，0)，B(－2，0)，P是平面内一动点，直线PA，PB的斜率之积为－，则动点P的轨迹C的方程为________．
8．一动圆过定点A(2，0)，且与定圆B：x2＋4x＋y2－32＝0内切，则动圆圆心M的轨迹方程是________．
三、解答题
9．椭圆＋y2＝1上有动点P，点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，求△PF1F2的重心M的轨迹方程．
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