微专题强化练(三) 与圆有关的最值问题
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共56分
一、选择题
1．已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9，则直线l被圆C所截得的弦长的最小值是( )
A．
C．2 D．2
2．点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上运动，则|4x－3y＋4|的取值范围是( )
A．[0，1] B．[0，9]
C．[1，8] D．[1，9]
3．(多选)已知直线l：kx－y＋k＝0，圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，P(x0，y0)为圆C上任意一点，则下列说法正确的是( )
的最大值为5
B．的最大值为
C．直线l与圆C相切时，k＝±
D．圆心C到直线l的距离最大为4
4．“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的曼哈顿距离d(A，B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|，已知M(4，6)，点N在圆C：x2＋y2＋6x＋4y＝0上运动，若点P满足d(M，P)＝2，则|PN|的最大值为( )
A．7
C．
5．如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)，(0，2)，⊙C的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是( )
A．2 B．1
C．2－ D．2－
二、填空题
6．直线l：λx－y－λ＋1＝0和圆x2＋y2－4y＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．
7．若点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上运动，则x－2y的取值范围为________．
8．已知圆C：x2＋y2－2x－4y－4＝0，P为直线l：x＋y＋2＝0上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，则四边形PACB的面积的最小值为________．
三、解答题
9．在平面直角坐标系Oxy中，已知A(3，0)，满足|PO|＝2|PA|的点P(x，y)形成的曲线记为E．
(1)求曲线E的方程；
(2)Q是直线2x－y＋2＝0上的动点，过点Q作曲线E的切线，切点分别为B，C．求切线长|QB|的最小值，并求出此时直线BC的方程．
1/2微专题强化练(三)
1．C [∵直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0可化为m(x－y＋1)＋(3x－2y)＝0，
令
∴直线l过定点P(2，3)，该点在圆内．
又圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9的圆心C(3，4)，半径r＝3，
∴直线l被圆C所截得的弦长的最小值是2．故选C．]
2．B [令|4x－3y＋4|＝z，则z≥0，可得该直线方程为：
l1：4x－3y＋4－z＝0或l2：－4x＋3y－4－z＝0，
设(0，0)到直线l1和l2的距离为d1和d2，
得d1＝≤1或d2＝≤1，解得－1≤z≤9或－9≤z≤1，又因为z≥0，所以z∈[0，9]．故选B．]
3．BC [直线l：kx－y＋k＝0恒过(－1，0)，圆C：x2＋y2－6x＋5＝0的圆心坐标为(3，0)，半径为2，所以P(x0，y0)为圆C上任意一点，的最大值为25，所以A不正确；
，所以B正确；
直线l与圆相切时，直线的斜率为k＝±＝±，所以C正确；
圆心C到直线l的距离d＝，当k≠0时，d＝<4，当k＝0时，d＝0，所以D不正确．故选BC．]
4．D [如图所示，由圆C：x2＋y2＋6x＋4y＝0，可得(x＋3)2＋(y＋2)2＝13，则圆心C(－3，－2)，半径r＝，
设P(x0，y0)，则|x0－4|＋|y0－6|＝2，可得点P的轨迹为如图所示的正方形，
其中A(4，8)，B(6，6)，则|AC|＝，|BC|＝，
则|PN|≤|AC|＋r＝，
所以|PN|的最大值为．故选D．]
5．C [如图所示，当AD与☉C相切时，线段BE最短，此时△ABE的面积最小，连接CD．
∵A(2，0)，C(－1，0)，☉C半径为1，
∴|AO|＝2，|AC|＝2＋1＝3，|CD|＝1，
在Rt△ACD 中，|AD|＝，∵CD⊥AD，∴∠D＝90°，∴∠D＝∠AOE，
在△AOE 与△ADC 中，
∴△AOE∽△ADC，，
即，解得|EO|＝，
∵点B(0，2)，∴|OB|＝2，∴|BE|＝|OB|－|OE|＝2－，
∴△ABE面积的最小值为×|BE|×|AO|＝×2＝2－．故选C．]
6．2 [l：λ(x－1)－y＋1＝0，令x＝1，则y＝1，所以直线l过定点(1，1)，
由x＝1，y＝1得12＋12－4×1＝－2<0，则(1，1)在圆内，则直线l与圆必有两交点，
由圆x2＋y2－4y＝0得圆心(0，2)，半径为2，
所以圆心(0，2)到直线l的距离d≤，
所以|AB|＝2≥2．]
7．[－] [令c＝x－2y，则x－2y－c＝0与圆x2＋y2＝1有公共点，可得≤1，即－≤c≤，所以x－2y的取值范围为[－]．]
8． [圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝9，圆心C(1，2)，半径r＝3，
四边形PACB的面积S＝2S△PAC＝|PA|·|AC|＝3|PA|＝3，
要使四边形PACB的面积最小，
则只需|PC|最小，最小值为圆心C到直线l：x＋y＋2＝0的距离d＝，
所以四边形PACB的面积的最小值为3．]
9．解：(1)由题意得|PO|＝，|PA|＝，
∵|PO|＝2|PA|，∴，
化简得x2＋y2－8x＋12＝0，
即曲线E的方程为x2＋y2－8x＋12＝0．
(2)曲线E的方程x2＋y2－8x＋12＝0化为(x－4)2＋y2＝4，
∴曲线E的圆心坐标为E(4，0)，半径r＝|BE|＝2，
∴|QB|2＝|QE|2－|BE|2＝|QE|2－4，
∴当|QE|取最小值时，|QB|有最小值，
∵Q是直线2x－y＋2＝0上的动点，∴QE与直线2x－y＋2＝0垂直时，|QE|有最小值，
此时|QE|的最小值为圆心E到直线2x－y＋2＝0的距离d＝，|QB|有最小值，为＝4，
∵直线QE与直线2x－y＋2＝0垂直，
∴直线QE的斜率k＝－，
∴直线QE的方程为y－0＝－(x－4)，化简得x＋2y－4＝0，
联立
∴Q(0，2)，
∴以点Q(0，2)为圆心，|QB|为半径的圆的方程为x2＋(y－2)2＝16，
∵直线BC为圆(x－4)2＋y2＝4与圆x2＋(y－2)2＝16的公共弦所在直线，
∴两方程相减可得直线BC的方程为2x－y－6＝0．
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