微专题强化练(五)
1．A [由△ABF2的周长为8，可得|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8，即a＝2，由弦长|AB|的最小值为3，
则椭圆的通径长为3，即＝3，所以b2＝3，
所以c2＝a2－b2＝1，即c＝1，所以椭圆E的焦距为2．
故选A．]
2．A [将直线y＝x＋1代入x2＋4y2＝8，
可得x2＋4(x＋1)2＝8，即5x2＋8x－4＝0，
解得x1＝－2，x2＝，∴y1＝－1，y2＝，∴直线y＝x＋1被椭圆x2＋4y2＝8截得的弦长为．]
3．B [联立可得(1＋5k2)x2－10kx＝0，
解得x＝0或x＝，
则弦长l＝·，令1＋5k2＝t(t≥1)，
则l＝10·＝2＝2，
当t＝，即k＝±时，
l取得最大值2×．]
4．B [设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋m，由
消去y得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，
由Δ＝(8m)2－4×5×4(m2－1)＝80－16m2>0，得0≤m2<5．
则x1＋x2＝－，x1x2＝．
∴|AB|＝|x1－x2|＝·
＝·＝·，
∴当m＝0时，|AB|取得最大值．]
5．BC [因为△AF1B的周长为8，所以4a＝8，得a＝2，因为y＝x－过右焦点F2，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝4－3＝1，所以椭圆的焦距为2，故A错误；
椭圆方程为＋y2＝1，故B正确；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得5x2－8x＋8＝0，Δ>0，则x1＋x2＝，x1x2＝，
|AB|＝
＝，故C正确；
原点到直线y＝x－，
所以S△OAB＝d·|AB|＝××，故D错误．]
6．4 [由已知可得c2＝a2－b2＝8－4＝4，所以c＝2，则F(2，0)，且b＝2，
当过原点的直线的斜率不存在时，此时直线方程为x＝0，则A，B两点为短轴端点，所以A(0，2)，B(0，－2)，则|AB|＝4，所以△ABF的面积为×2×4＝4；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx，代入椭圆方程可得(1＋2k2)x2＝8，所以x＝±，则y＝±，
所以点A，B，
所以△ABF的面积为S＝S△AOF＋S△BOF＝×2×|yA－yB|＝＝4．
综上，△ABF的面积的最大值为4．]
7．8 [∵＝4，c＝1，∴×2c×|yA－yB|＝4，∴|yA－yB|＝4．
∵直线过椭圆左焦点且斜率为，
∴|AB|＝|yA－yB|＝8．]
8．x＋y－1＝0 [由题意得b＝1，c＝1，∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2．
∴椭圆的标准方程为＋x2＝1．
当直线l的斜率不存在时，|CD|＝2，不符合题意．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋1，
联立得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0．
Δ＝8(k2＋1)>0恒成立．
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，∴x1＋x2＝－，x1x2＝－．
∴|CD|＝．
即，解得k2＝2，∴k＝±．
∴直线l的方程为x＋y－1＝0．]
9．解：(1)由题意得
∴椭圆C的方程为＝1．
(2)设直线AB的方程为y＝－x＋m，
联立
得3x2－4mx＋2m2－6＝0，令Δ>0得m2<9．
∴
∴|AB|＝，
原点到直线AB的距离d＝．
∴S△OAB＝××
＝≤·＝．
当且仅当m2＝9－m2，即m＝±时，等号成立，此时满足Δ>0，
∴△AOB面积的最大值为．
4/4微专题强化练(五) 弦长问题
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共56分
一、选择题
1．椭圆E的一条弦AB经过左焦点F1，右焦点记为F2．若△ABF2的周长为8，且弦长|AB|的最小值为3，则椭圆E的焦距为( )
A．2 B．1
C．2
2．直线y＝x＋1被椭圆x2＋4y2＝8截得的弦长是( )
A．
C．
3．直线y＝kx－1被椭圆C：＋y2＝1截得的最长的弦长为( )
A．3 B．
C．2 D．
4．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )
A．
C．
5．(多选)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，直线y＝x－过F2交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则( )
A．椭圆的焦距为
B．椭圆方程为＋y2＝1
C．|AB|＝
D．S△OAB＝
二、填空题
6．椭圆C：＝1的右焦点为F，过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF的面积的最大值为________．
7．已知F1，F2分别为椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点，若＝4，则|AB|等于________．
8．已知椭圆两顶点A(－1，0)，B(1，0)，过焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，当|CD|＝时，直线l的方程为________．
三、解答题
9．在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率e＝，且点P(2，1)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值．
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