微专题强化练(六) 破解圆锥曲线的离心率问题
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共56分
一、选择题
1．(多选)已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为y＝±2x，则双曲线E的离心率为( )
A．
C．
2．如果椭圆＝1(a>b>0)的离心率为，那么双曲线＝1的离心率为( )
A．
C． D．2
3．已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A是椭圆短轴的一个顶点，且cos ∠F1AF2＝，则椭圆的离心率e等于( )
A．
C．
4．若过双曲线＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交y轴于点(0，3c)(c为双曲线的半焦距)，则此双曲线的离心率是( )
A．
C．
5．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆上且位于第一象限，满足＝0，∠AF1F2的角平分线与AF2相交于点B，若＝，则椭圆的离心率为( )
A．
C．
二、填空题
6．已知直线y＝a与双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2．若|PA2|＝|A1A2|，则双曲线C的离心率为________．
7．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F1(－c，0)，坐标原点为O，若在双曲线右支上存在一点P满足|PF1|＝c，且|PO|＝c，则双曲线C的离心率为________．
8．已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．
三、解答题
9．已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若双曲线上存在一点P，使＝，求双曲线的离心率的取值范围．
1/2微专题强化练(六)
1．AB [若双曲线的焦点在x轴上，
由渐近线方程为y＝±2x，得＝2，∴e＝；
若双曲线的焦点在y轴上，由渐近线方程为y＝±2x，得＝2，∴e＝．]
2．A [由椭圆的离心率为，得，∴a2＝4b2．∴在双曲线中，e2＝，∴双曲线的离心率e＝．]
3．D [设椭圆＝1(a>b>0)的焦距为2c(c>0)，
则椭圆＝1(a>b>0)的左焦点F1的坐标为(－c，0)，右焦点F2的坐标为(c，0)．
依题意，不妨设点A的坐标为(0，b)，在△F1AF2中，由余弦定理得
|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|·cos∠F1AF2．
∵cos∠F1AF2＝，∴4c2＝2a2－2a2×a2，
∴e2＝，解得e＝．]
4．C [不妨设双曲线的一个焦点为F(c，0)，渐近线方程为y＝x，
则过点F(c，0)且与直线y＝(x－c)，
令x＝0，得y＝，则＝3c，∴，
∴双曲线的离心率是．故选C．]
5．D [设|AF1|＝n，|AF2|＝8m，
由得|AB|＝3m，|BF2|＝5m，
因为·＝0，所以∠F1AF2＝，
在Rt△AF1F2中，由勾股定理，得(8m)2＋n2＝(2c)2，①
由椭圆的定义得8m＋n＝2a，②
因为F1B平分∠AF1F2，所以，即，③
联立①②③并化简得7c2＋30ac－25a2＝0，
则7e2＋30e－25＝0，得e＝(负值舍去)．故选D．]
6． [若渐近线的方程为y＝x，则点P的坐标为．
因为|PA2|＝|A1A2|，所以＋a2＝5a2，
则＝4，所以＝3(负值舍去)，从而e＝．
若渐近线的方程为y＝－x，则点P的坐标为，同理可得e＝．]
7．＋1 [因为|PO|＝|F1O|＝|F2O|＝c，所以∠PF1O＝∠OPF1，∠PF2O＝∠OPF2，
此时∠OPF1＋∠OPF2＝∠F1PF2＝，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，|PF1|－|PF2|＝2a，
即3c2＋(c－2a)2＝4c2，整理得c2－2ac＋2a2＝0，①
又e＝且e>1，②
联立①②，解得e＝＋1．]
8． [设P(x，y)，－a≤x≤a，
则·＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，
将y2＝b2－x2代入上式，
解得x2＝．
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，
∴e＝∈．]
9．解：由题知P不是双曲线的顶点．在△PF1F2中，由正弦定理，得
，
所以，即|PF1|＝|PF2|，
所以点P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义，知|PF1|－|PF2|＝2a，
即|PF2|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝．
由双曲线的几何性质，知|PF2|>c－a，
则>c－a，即c2－2ac－a2<0，所以e2－2e－1<0，
解得－＋1．
又e>1，所以双曲线离心率的取值范围为(1，＋1)．
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