微专题强化练(七) 圆锥曲线中的综合问题
说明：本试卷共60分
1．如图，O为坐标原点，过点P(2，0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．
(1)求x1x2的值；
(2)求证：OM⊥ON．
2．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，过点A．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线y＝x＋m与椭圆交于M，N两点．
①当m＝1时，求|MN|；
②当OM⊥ON时，求m的值．(O为坐标原点)
3．已知双曲线C：＝1，直线l与双曲线C交于A，B两点．
(1)若A，B关于点M(4，3)对称，求直线l的方程；
(2)若直线l过点N(0，1)，且A，B都在双曲线C的左支上，求直线l的斜率的取值范围．
4．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为F(，0)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点D(1，0)作斜率不为0的直线l，直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为k1，BQ的斜率为k2，求证：为定值．
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y米
MA
0
P(2,0)
X
N微专题强化练(七)
1．解：(1)由题意可得直线l的方程为y＝k(x－2)，
联立
消去y可得k2x2－(4k2＋2)x＋4k2＝0，Δ>0，
又M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1x2＝＝4．
(2)证明：由(1)可得y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝k2·＝－4，
则·＝x1x2＋y1y2＝4－4＝0，
所以⊥，即OM⊥ON．
2．解：(1)由题意可知
所以椭圆C的方程为＝1．
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
①联立消去y并整理得7x2＋8x－8＝0，则Δ＝64－4×7×(－8)>0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝－，
因此|MN|＝
＝×．
②联立消去y并整理得7x2＋8mx＋4m2－12＝0，
则Δ＝64m2－4×7(4m2－12)>0，解得m2<7，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
因为OM⊥ON，所以·＝0，
即·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)
＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝2×＋m×＝0，解得m＝±，均符合m2<7，
故m＝±．
3．解：因为直线l与双曲线C交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)联立两式作差变形得，，
因为A，B关于点M(4，3)对称，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝6，
所以kAB＝，
所以直线l的方程为y－3＝(x－4)，即5x－3y－11＝0．
(2)当直线l的斜率不存在时，方程为x＝0，与A，B都在双曲线C的左支上矛盾，故斜率存在．
设方程为y＝kx＋1，
联立消去y并整理得(5－4k2)x2－8kx－24＝0，
因为直线l与双曲线C交于A，B两点，
所以Δ＝64k2＋96(5－4k2)>0，且5－4k2≠0，
解得－，且k≠±，
又A，B都在双曲线C的左支上，
所以．
综上，直线l的斜率的取值范围为．
4．解：(1)因为椭圆的离心率为，右焦点为F(，0)，
所以解得a＝2，c＝，则b2＝a2－c2＝1，
故椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
因为直线l过点D(1，0)且斜率不为0，
所以设直线l的方程为x＝ty＋1，
联立消去x并整理得(t2＋4)y2＋2ty－3＝0，
此时Δ＝4t2＋12(t2＋4)>0，
由根与系数的关系，得y1＋y2＝－，y1y2＝－，
此时ty1y2＝(y1＋y2)，
因为A，B分别为椭圆C的左、右顶点，
所以A(－2，0)，B(2，0)，则k1＝，k2＝．
故，即为定值．
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