课时分层作业(十二) 倾斜角与斜率
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共88分
一、选择题
1．(多选)在下列四个命题中，正确的有( )
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是[0，π)
C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45°
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°
2．过两点A(3，y)，B(2，0)的直线的倾斜角为120°，则y＝( )
A．
C．－ D．－
3．已知直线l的斜率的范围为[－1，1]，则直线l的倾斜角α的取值范围为( )
A．0°≤α≤45°或135°≤α≤180°
B．45°≤α≤135°
C．45°＜α＜135°
D．0°≤α≤45°或135°≤α＜180°
4．直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，其图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．k1＞k2＞k3 B．k3＞k1＞k2
C．k2＞k1＞k3 D．k2＞k3＞k1
5．斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成．如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为4 m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为18 m．最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝84 m，|OA1|＝78 m，以B10A10所在直线为x轴，OP10所在直线为y轴，则最长拉索B10P10所在直线的斜率为( )
A．
C．
二、填空题
6．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为 ________．
7．已知直线l的方向向量n＝(2，－2)，则直线l的倾斜角为________．
8．已知直线l上一点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率k为________．
三、解答题
9．已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m，1)，问：当m取何值时：
(1)直线l与x轴平行？
(2)直线l与y轴平行？
(3)直线l的一个方向向量的坐标为(3，1)
(4)直线l的倾斜角为45°？
(5)直线l的倾斜角为锐角？
10．(多选)已知直线l1，l2，l3的倾斜角分别为θ1，θ2，θ3，斜率分别是k1，k2，k3，若θ1＜θ2＜θ3，则k1，k2，k3的大小关系可能是( )
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k2＜k1
C．k3＜k1＜k2 D．k2＜k3＜k1
11．已知两点A(－1，2)，B(m，3)，且m∈，则直线AB的倾斜角α的取值范围是( )
A．
C．
12．已知点A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则m的值为________．
13．已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1)．
(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围．
14．已知A(2，3)，B(－1，2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的取值范围是 ________．
1/4课时分层作业(十二)
1．BCD [对于A，当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，
故坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率不成立，故A错误；
对于B，直线的倾斜角的取值范围是[0，π)，故B正确；
对于C，由题意可得直线的倾斜角的正切值为1，所以直线的倾斜角为45°，故C正确；
对于D，与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°，选项D正确．
故选BCD．]
2．D [设直线斜率为k，则k＝tan 120°＝．故选D．]
3．D [由直线l的斜率的范围为[－1，1]，0°≤α<180°，
故倾斜角α的范围为0°≤α≤45°或135°≤α<180°．故选D．]
4．C [由k＝tan α，结合y＝tan x的函数图象，
直线l3对应的倾斜角为钝角，则k3<0，
直线l1与l2对应的倾斜角都为锐角，且l2的倾斜角大于l1的倾斜角，
则k2>k1>0，故k2>k1>k3．
故选C．]
5．B [如图，根据题意，最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝84 m，|OA1|＝78 m，
且|PiPi+1|(i＝1，2，3，…，9)均为4 m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi+1|(i＝1，2，3，…，9)均为18 m，则|OA10|＝|OA1|＋|A1A10|＝78＋9×18＝240 m，即点A10(240，0)，
同理B10(－240，0)，又|OP10|＝|OP1|＋|P1P10|＝84＋9×4＝120，即点P10(0，120)，
所以，即最长拉索所在直线的斜率为．故选B．]
6．135° [设直线l2的倾斜角为α2，直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1与l2向上的方向所成的角为120°，
所以∠BAC＝120°，故α2＝120°＋α1＝120°＋15°＝135°．]
7． [由于直线l的方向向量n＝(2，－2)，则直线l的斜率为，
设直线l的倾斜角为θ，则tan θ＝－，θ∈[0，π)，∴θ＝．]
8．－ [设点P(a，b)是直线l上的一点，
将点P(a，b)向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点P'(a＋4，b－2)仍在该直线上，则直线l的斜率k＝．]
9．解：(1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，即＝0，解得m＝1．
(2)若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，所以m＝－1．
(3)直线l的一个方向向量的坐标为(3，1)，故k＝，即，解得m＝．
(4)由题意可知，直线l的斜率k＝1，即＝1，解得m＝0．
(5)由题意可知，直线l的斜率k>0，即>0，解得－110．ACD [由k＝tan x在上分别单调递增，
且当x∈时，k>0；当x∈时，k<0，
若0<θ1<θ2<θ3<，或<θ1<θ2<θ3<π，则k1若0<θ1<θ2<<θ3<π，则k3若0<θ1<<θ2<θ3<π，则k2故选ACD．]
11．D [因为两点A(－1，2)，B(m，3)，且m∈，
当m＝－1时，m＝－1∈，此时直线的倾斜角为．
当m≠－1时，直线的斜率k＝，
可得m＋1∈，可得k＝≥或k≤－，即tan α≥或tan α≤－，可得α∈或α∈．
综上所述，直线的倾斜角α∈．
故选D．]
12．4 [由题意知直线AC的斜率存在，即m≠－1，
所以kAC＝，kBC＝，
所以＝3×，
整理，得－m－1＝(m－5)(m＋1)，即(m＋1)(m－4)＝0，
解得m＝4或m＝－1(舍去)，所以m＝4．]
13．解：(1)由斜率公式得，kAB＝＝0，
kBC＝，kAC＝，∴直线AB的倾斜角为0°，直线BC的倾斜角为60°，直线AC的倾斜角为30°．
(2)如图，当直线CD由CA逆时针旋转到CB时，
直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kAC增大到kBC，∴k的取值范围为．
14．(－∞，－1]∪[3，＋∞) [由题意，表示点P(x，y)与点Q(1，0)连线的斜率，
因为点P(x，y)在线段AB上，A(2，3)，B(－1，2)，
所以kAQ＝＝3，kBQ＝＝－1，kPQ＝，
所以kPQ＝∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
即的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．]
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