课时分层作业(十六) 直线的一般式方程
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共107分
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是( )
A．30° B．60°
C．150° D．120°
2．若直线ax＋(a－3)y＋3＝0与直线x＋ay－3＝0垂直，则a的值是( )
A．2 B．0
C．0或2 D．2或－2
3．(多选)已知直线l过点(－2，3)，则下列说法中正确的是( )
A．若直线l的斜率为2，则l的方程为2x＋y＋1＝0
B．若直线l在y轴上的截距为2，则l的方程为x＋2y－4＝0
C．若直线l的一个方向向量为(1，－3)，则l的方程为3x＋y＋3＝0
D．若直线l与直线x＋y＝0平行，则l的方程为x＋y－1＝0
4．已知直线l1：2x＋2y－5＝0，l2：4x＋ny＋1＝0，l3：mx＋6y－5＝0，若l1∥l2且l1⊥l3，则m＋n的值为( )
A．－10 B．10
C．－2 D．2
5．(多选)已知直线l1：mx＋y＋m－1＝0，直线l2：4x＋my＋3m－4＝0，下列命题中正确的是( )
A．若l1⊥l2，则m＝0
B．当m＝0时，n＝(1，0)是直线l1的一个方向向量
C．若l1∥l2，则m＝2或m＝－2
D．若直线l2在两坐标轴上的截距相等，则实数m＝4
二、填空题
6．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－m＋1＝0表示一条直线，则m的取值范围是 ________．
7．已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为________．
8．直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是________．
三、解答题
9．已知△ABC的两顶点坐标为A(1，－1)，C(3，0)，B1(0，1)是边AB的中点，AD是BC边上的高．
(1)求BC所在直线的方程；
(2)求高AD所在直线的方程；
(3)求过点C且与直线AB平行的直线方程．
10．(多选)已知直线l1：mx－y－3＝0，直线l2：4x－my＋6＝0，则下列命题正确的有( )
A．直线l1恒过点(0，－3)
B．存在m使得直线l2的倾斜角为90°
C．若l1∥l2，则m＝2或m＝－2
D．存在实数m使得l1⊥l2
11．(多选)已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论错误的是( )
A．不存在k，使得l2的倾斜角为90°
B．对任意的k，l1与l2都有公共点
C．对任意的k，l1与l2都不重合
D．对任意的k，l1与l2都不垂直
12．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)，若直线l：ax＋(a2－3)y－9＝0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为( )
A．－2 B．－1
C．－1或3 D．3
13．若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则的最小值为________．
14．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
15．已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程．
3/3课时分层作业(十六)
1．C [直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°．故选C．]
2．C [因为直线x＋ay－3＝0与直线ax＋(a－3)y＋3＝0垂直，
则a·1＋(a－3)·a＝0，解得a＝0或a＝2．
故选C．]
3．BCD [对于A，由题设，l的方程为y－3＝2(x＋2)，即2x－y＋7＝0，故A错误；
对于B，由题设，直线斜率k＝，则y－3＝－(x＋2)，即x＋2y－4＝0，故B正确；
对于C，由题设，直线斜率k＝＝－3，则y－3＝－3(x＋2)，即3x＋y＋3＝0，故C正确；
对于D，由题设，令直线l为x＋y＋m＝0(m≠0)，将(－2，3)代入得－2＋3＋m＝0 m＝－1，
所以l的方程为x＋y－1＝0，故D正确．故选BCD．]
4．C [因为l1∥l2，所以≠ n＝4，又l1⊥l3，所以2×m＋2×6＝0 m＝－6，
所以m＋n＝－2．故选C．]
5．AB [对于A，直线l1：mx＋y＋m－1＝0，直线l2：4x＋my＋3m－4＝0，l1⊥l2，
∴m×4＋1×m＝0，解得m＝0，故A正确；
对于B，当m＝0时，直线l1：y－1＝0，
∴n＝(1，0)是直线l1的一个方向向量，故B正确；
对于C，当m＝0时，l1：y－1＝0，l2：x－1＝0，l1，l2不平行，
∴m≠0，由l1∥l2，得，∴－m＝－，∴m＝2或m＝－2，
当m＝2时，l1：2x＋y＋1＝0，l2：4x＋2y＋2＝0，两直线重合，
当m＝－2时，l1：2x－y＋3＝0，l2：2x－y－5＝0，即l1∥l2，符合题意，∴m＝－2，故C错误；
对于D，直线l2在两坐标轴上的截距相等，可知m≠0，
对于4x＋my＋3m－4＝0，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝，则，
解得m＝4或m＝，故D错误．
故选AB．]
6．{m|m≠1} [令解得m＝1，
方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－m＋1＝0表示一条直线，可得m≠1．所以m的取值范围为{m|m≠1}．]
7．x－3y＋24＝0 [直线2x－3y＋12＝0的斜率为，在y轴上截距为4．根据题意，直线l的斜率为，在y轴上截距为8，所以直线l的方程为y＝x＋8，即x－3y＋24＝0．]
8．x＋2y＋4＝0 [直线2x－y－2＝0与y轴的交点为A(0，－2)，
由题意得所求直线过点A且斜率为－，
所以所求直线的方程为y＋2＝－x，
即x＋2y＋4＝0．]
9．解：(1)因为B1(0，1)是边AB的中点，A(1，－1)，所以B(－1，3)，
因为C(3，0)，所以直线BC的斜率kBC＝，
所以BC所在直线的方程为y＝－(x－3)，即3x＋4y－9＝0．
(2)因为AD是BC边上的高，则kBCkAD＝－1，所以kAD＝，
因此高AD所在直线的方程为y＋1＝(x－1)，即4x－3y－7＝0．
(3)因为直线过点C且与直线AB平行，则其斜率k＝kAB＝＝－2，
所以其方程为y＝－2(x－3)，
所以过点C且与直线AB平行的直线方程为2x＋y－6＝0．
10．ABD [对于A，由l1：mx－y－3＝0，得y＝mx－3，令x＝0，所以直线l1恒过点(0，－3)，故A正确；对于B，当m＝0时，直线l2的斜率不存在，即倾斜角为90°，故B正确；对于C，当l1∥l2时，解得m＝2，故C错误；
对于D，当m＝0时，l1：y＝－3，l2：x＝－，此时l1⊥l2，故D正确．
故选ABD．]
11．AC [对于A，当k＝0时，直线l2的方程为x＝0，其倾斜角为90°，故A错误；
对于B，直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，即k(x＋y＋1)＋x＝0过定点(0，－1)，而定点在直线l1上，故B正确；
对于C，当k＝－时，直线l2的方程为
＝0，
即x－y－1＝0，l1与l2重合，故C错误；
对于D，若两直线垂直，则1·(k＋1)＋(－1)·k＝0，方程无解，
故对任意的k，l1与l2都不垂直，故D正确．故选AC．]
12．B [由△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)知，
△ABC重心为，即(1，1)，
又△ABC为直角三角形，所以外心为斜边AC中点，即，
所以可得△ABC的欧拉线方程为，即x＋2y－3＝0，
因为ax＋(a2－3)y－9＝0与x＋2y－3＝0平行，
所以≠，解得a＝－1．故选B．]
13．8 [点A在直线mx＋ny＋1＝0上，则
2m＋n＝1，所以(2m＋n)＝4＋≥4＋4＝8，
当且仅当n＝2m，即n＝，m＝时，等号成立，
即的最小值为8．]
14．解：(1)证明：直线l的方程可化为y－1＝k(x＋2)，由点斜式方程可知，直线l过定点(－2，1)．
(2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，
则必须有解得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，
故k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)由题意可知k≠0，再由l的方程，
得A，B(0，1＋2k)．
依题意得解得k>0．
∵S＝|OA|·|OB|＝·|1＋2k|＝·≥×(2×2＋4)＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时取等号，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．
15．解：设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点，
∵点B在中线y－1＝0上，
∴设点B坐标为(x，1)．
又∵点A坐标为(1，3)，D为AB的中点，
∴由中点坐标公式得点D坐标为．
又∵点D在中线x－2y＋1＝0上，
∴－2×2＋1＝0，解得x＝5，∴点B坐标为(5，1)．
同理可求出点C的坐标是(－3，－1)．
故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0．
4/4
