课时分层作业(二十) 圆的标准方程
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共89分
一、选择题
1．若点(1，a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，1) B．(－∞，1)
C．[0，1) D．(1，＋∞)
2．方程－y＝表示的曲线是( )
A．x轴上方的半圆 B．x轴下方的半圆
C．y轴左侧的半圆 D．y轴右侧的半圆
3．已知圆C与x轴相切，圆心在直线2x－y＝0上，且经过点(1，0)，则圆C的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y－4)2＝16
B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝16
C．(x－1)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝4
4．已知半径为3的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝3，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋2)2＝3 B．(x＋2)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋2)2＋(y－2)2＝3 D．(x－2)2＋(y－2)2＝3
二、填空题
6．已知直线l1：3x－y＋4＝0，l2：x＋2y－1＝0，则以l1，l2的交点为圆心，且经过点A(3，4)的圆的标准方程是 ________．
7．过点A(－1，－1)，B(0，－2)，C(3，1)三点的圆的标准方程为 ________．
8．若圆C与x轴和y轴均相切，且过点(1，2)，则圆C的半径长为________．
三、解答题
9．已知圆心为C的圆经过点A(1，1)，B(2，－2)，D(0，2)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)已知P(a，1)在圆C外，求a的取值范围．
10．(多选)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝5
B．(x－2)2＋(y－3)2＝13
C．＋＝22
D．＋(y－1)2＝
11．圆心在直线y＝x＋3上，且过点A(2，4)，B(1，－3)的圆的标准方程为________．
12．实数x，y满足x2＋y2＝4，则(x－4)2＋(y＋3)2的最大值是 ________．
13．已知直线l经过点A(－5，1)，B(3，7)．
(1)求直线l的方程；
(2)若圆C经过点M(1，0)，N(3，2)，且圆心在直线l上，求圆C的标准方程．
14．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试着在边QB上找一点P，使得∠MPN最大”．如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系Oxy中，给定两点M(－1，2)，N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取得最大值时，该圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝2
B．(x＋7)2＋(y－10)2＝100
C．(x－1)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋7)2＋(y－10)2＝10
1/3课时分层作业(二十)
1．A [由题意可得(1－1)2＋a2<1，即a2<1，解得－1
所以实数a的取值范围是(－1，1)．故选A．]
2．B [由－y＝，则y≤0，故x2＋y2＝1(y≤0)，
所以方程－y＝表示的曲线是x轴下方的半圆．
故选B．]
3．C [因为圆C与x轴相切，圆心在直线2x－y＝0上，且经过点(1，0)，所以设圆心坐标为(a，2a)，
所以圆的方程为(x－a)2＋(y－2a)2＝4a2，
因为点(1，0)在圆C上，所以(1－a)2＋(0－2a)2＝4a2，解得a＝1，
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4．
故选C．]
4．B [由半径为3的圆经过点(3，4)，可得该圆的圆心轨迹是以A(3，4)为圆心，3为半径的圆，
由两点间的距离公式得|OA|＝＝5，r＝3，
所以圆心到原点距离的最小值是|OA|－r＝5－3＝2．
故选B．]
5．A [根据题意，设圆C2的圆心为(a，b)，
圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝3，其圆心为(－1，1)，半径为，
若圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，
则点C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，且圆C2的半径为，
则有
则圆C2的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝3．故选A．]
6．(x＋1)2＋(y－1)2＝25 [由所以l1，l2的交点坐标为(－1，1)，
故所求圆的圆心坐标是(－1，1)，半径r＝＝5，
所以所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝25．]
7．(x－1)2＋y2＝5 [设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，可得(－1－a)2＋(－1－b)2＝r2，①
(－a)2＋(－2－b)2＝r2，②
(3－a)2＋(1－b)2＝r2，③
由①－②得到a－b－1＝0，④
由②－③得到a＋b－1＝0，⑤
由④⑤解得a＝1，b＝0，代入①，得r2＝5，
所以圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝5．]
8．1或5 [根据题意，若圆C与x轴和y轴均相切，则圆心C在直线y＝x或y＝－x上，当圆心C在直线y＝x上时，设圆心C的坐标为(a，a)，此时圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，
将(1，2)代入可得(1－a)2＋(2－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，此时圆的半径长为1或5；
当圆心C在直线y＝－x上时，
设圆心C的坐标为(a，－a)，
此时圆的标准方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，
将(1，2)代入可得(1－a)2＋(2＋a)2＝a2，即a2＋2a＋5＝0，方程无解，
综上所述，圆C的半径长为1或5．]
9．解：(1)设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝R2(R>0)，
代入A(1，1)，B(2，－2)，D(0，2)，
得
所以圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25．
(2)因为P(a，1)在圆C外，所以|PC|>R＝5，
又因为C(－3，－2)，|PC|＝，
所以>5，解得a>1或a<－7，
所以a的取值范围为(－∞，－7)∪(1，＋∞)．
10．AB [对于A，点(0，0)，(4，0)，(4，2)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝5上，故A正确；
对于B，点(0，0)，(4，0)，(－1，1)在圆(x－2)2＋(y－3)2＝13上，故B正确；
对于C，四个点都不在圆＝22上，故C错误；
对于D，点(4，0)，(－1，1)，(4，2)都不在圆＋(y－1)2＝上，故D错误．故选AB．]
11．(x＋2)2＋(y－1)2＝25 [直线AB的斜率为＝7，线段AB的中点为，
线段AB的垂直平分线的方程为y－×，
即y＝－，
联立即圆心坐标为(－2，1)，
半径r＝＝5，所以所求圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝25．]
12．49 [根据题意，x2＋y2＝4表示以O(0，0)为圆心，半径r＝2的圆，
设P(x，y)为圆O上的动点，Q(4，－3)，
可得|PQ|max＝|OQ|＋r＝＋2＝7，
因为|PQ|2＝(x－4)2＋(y＋3)2，所以(x－4)2＋(y＋3)2的最大值是72＝49．]
13．解：(1)因为直线l经过点A(－5，1)，B(3，7)，
所以直线l的斜率k＝，
所以直线l的方程为y－1＝(x＋5)，
即3x－4y＋19＝0．
(2)因为点M(1，0)，N(3，2)，所以直线MN的斜率kMN＝＝1，MN的中点为(2，1)，
所以直线MN的中垂线方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋y－3＝0，
由题意可得圆心为两条直线的交点，
联立解得x＝－1，y＝4，即圆心C(－1，4)，且圆C的半径r＝|CM|＝，
所以圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－4)2＝20．
14．
C [由题意可知，点P为过M，N两点且和x轴相切的圆的切点，线段MN的中点坐标为(0，3)，又kMN＝＝1，所以线段MN的垂直平分线方程为y－3＝－x，所以以MN为弦的圆的圆心在直线y－3＝－x上，
故设该圆圆心为C(a，3－a)，又因为该圆与x轴相切，所以圆的半径r＝|3－a|，
又|CN|＝r，所以(a－1)2＋(3－a－4)2＝(3－a)2，解得a＝1或a＝－7，
当a＝－7时，∠MQP是钝角，故舍去．
所以a＝1，此时圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4．
故选C．]
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