课时分层作业(二十一) 圆的一般方程
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共102分
一、选择题
1．(2024·北京卷)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到x－y＋2＝0的距离为( )
A． B．2
C．3 D．3
2．已知曲线C：x2＋y2＋2mx－2y＋2＝0表示圆，且点P(1，2)在曲线C外，则m的取值范围是( )
A．
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．
D．∪(1，＋∞)
3．已知圆C：x2＋y2＋2x＋my＋3＝0关于直线2x－y＋4＝0对称，则圆C的半径为( )
A． B．2
C．2 D．4
4．若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3，0)和(7，0)，则直角顶点C的轨迹方程为( )
A．x2＋y2＝25(y≠0)
B．x2＋y2＝25
C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0)
D．(x－2)2＋y2＝25
5．已知圆C上有三个点A(0，)，B(2，)，C(1，0)，则圆C的面积为( )
A．π B．π
C．π D．π
二、填空题
6．已知圆x2＋y2－4x－m＝0的面积为π，则m＝________．
7．到点O(0，0)的距离是到点A(3，0)的距离的的点M的轨迹方程为________．
8．已知圆C经过(0，－1)，(1，0)，(1，1)三点，则圆C的一般方程为 ________．
三、解答题
9．已知A(－1，1)，B(2，－2)，C(5，1)．
(1)求直线BC的方程及△ABC的面积；
(2)求△ABC的外接圆的方程．
10．(多选)已知圆C：x2＋y2＋kx－2y＋k2＝0，k∈R，则( )
A．当k＝0时，C的面积是π
B．实数k的取值范围是
C．点(1，0)在C内
D．当C的周长最大时，圆心坐标是(0，－1)
11．已知圆x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－9＝0上所有点都在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(－∞，－3]
C．
12．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的一般方程为________．
13．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中A(－2，0)，B(2，0)，则满足|PA|＝2|PB|的点P的轨迹的圆心为________，面积为________．
14．已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)线段PQ的端点P的坐标是(5，0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
15．在平面直角坐标系Oxy中，长度为2的线段EF的两端点E，F分别在x，y轴上运动．
(1)求线段EF的中点G的轨迹C的方程；
(2)设轨迹C与x轴交于A1，A2两点，P是轨迹C上异于A1，A2的任意一点，直线PA1交直线l：x＝3于点M，直线PA2交直线l于点N．求证：以MN为直径的圆总过定点，并求出定点坐标．
2/3课时分层作业(二十一)
1．D [圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心坐标为(1，－3)，
圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到x－y＋2＝0的距离d＝．故选D．]
2．D [由曲线C：x2＋y2＋2mx－2y＋2＝0表示圆，得4m2＋4－8>0，解得m<－1或m>1，
由点P(1，2)在曲线C：x2＋y2＋2mx－2y＋2＝0外，得12＋22＋2m－4＋2>0，解得m>－，
所以m的取值范围是∪(1，＋∞)．
故选D．]
3．A [由圆C：x2＋y2＋2x＋my＋3＝0关于直线2x－y＋4＝0对称，
可得圆C的圆心坐标为，圆心在直线2x－y＋4＝0上，
则－2＋＋4＝0，解得m＝－4，故圆C的方程为：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，r＝，所以圆C的半径为．
故选A．]
4．C [设顶点为C(x，y)，·＝0，
即(－3－x，－y)·(7－x，－y)＝0，
化简得(x－2)2＋y2＝25(y≠0)．]
5．A [由题意，设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∴
解得D＝－2，E＝－，F＝1，故圆的一般方程为x2＋y2－2x－y＋1＝0 (x－1)2＋，故圆的半径r＝，圆的面积S＝πr2＝π．故选A．]
6．－3 [圆x2＋y2－4x－m＝0化为标准方程为(x－2)2＋y2＝4＋m，
∵圆的面积为π，∴圆的半径为1，∴4＋m＝1，∴m＝－3．]
7．(x＋1)2＋y2＝4 [设点M的坐标是(x，y)，
则．∴，
化简，得x2＋y2＋2x－3＝0，
即所求轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4．]
8．x2＋y2＋x－y－2＝0 [设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将三个点的坐标代入可得
解得D＝1，E＝－1，F＝－2，
即圆C的方程为x2＋y2＋x－y－2＝0．]
9．解：(1)直线BC的方程为，化简，得x－y－4＝0，
点A到直线BC的距离d＝，
|BC|＝，
所以△ABC的面积为×d×|BC|＝9．
(2)设△ABC的外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将A，B，C的坐标代入，得
即
故所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－4＝0．
10．AB [对于A，当k＝0时，圆C：x2＋(y－1)2＝1，圆C的半径为1，
故C的面积为π×12＝π，故A正确；
对于B，圆C成立的充要条件为k2＋(－2)2－4k2>0，解得－，故B正确；
对于C，圆C的圆心坐标为，半径r＝，点(1，0)到圆心的距离d＝，当k＝0时，d＝>r＝1，此时点(1，0)在圆C外，故C错误；
对于D，当k＝0时，半径取得最大值1，即C的周长最大，此时圆心坐标为(0，1)，故D错误．故选AB．]
11．A [根据题意，x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－9＝0变形可得(x－a)2＋(y＋2a)2＝9，
所以圆心坐标为(a，－2a)，半径为3，
因为圆x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－9＝0上所有点都在第二象限，
所以解得a<－3，即实数a的取值范围为(－∞，－3)．故选A．]
12．x2＋y2－4x－5＝0 [设圆C的圆心坐标为(a，0)(a>0)，由题意可得，解得a＝2(a＝－2舍去)，所以圆C的半径为＝3，所以圆C的一般方程为x2＋y2－4x－5＝0．]
13．π [设点P(x，y)，代入|PA|＝2|PB|得，整理得3x2＋3y2－20x＋12＝0，配方得，半径为π．]
14．解：(1)设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D．
又kAB＝－3，所以km＝，
所以直线m的方程为x－3y－3＝0．
由得圆心C(－3，－2)，
则半径r＝|CA|＝＝5，所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25．
(2)设点M(x，y)，Q(x0，y0)．
因为点P的坐标为(5，0)，
所以
又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，
即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25，
整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝，
即线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝．
15．解：(1)设G(x，y)，由中点坐标公式得E(2x，0)，F(0，2y)，
∴|EF|＝＝2，整理得x2＋y2＝1，
∴线段EF的中点G的轨迹C的方程为x2＋y2＝1．
(2)由已知得A1(－1，0)，A2(1，0)，
设P(x0，y0)，x0≠±1，＝1，
直线PA1的方程为y＝(x＋1)，
令x＝3，得y＝，
则M，
同理，可求N，
∴MN的中点坐标为，
|MN|＝，
∴以MN为直径的圆的方程为(x－3)2＋．
令y＝0，得(x－3)2＝－＝8．
∴x＝3±2，
∴该圆总过定点，定点坐标为(3＋2，0)或(3－2，0)．
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