课时分层作业(二十二)
1．D [已知直线l：x＋2y－3＝0与圆M：x2＋y2－2ax－4y＋5＝0相离，
将圆M的方程化为标准方程为(x－a)2＋(y－2)2＝a2－1，
则a2－1>0，解得a<－1或a>1，圆心为M(a，2)，半径为r＝，
因为直线l与圆M相离，则d＝，
整理可得2a2－a－3<0，即(a＋1)(2a－3)<0，解得－1
则实数a的取值范围是．
故选D．]
2．B [根据题意，可得x2＋y2＝4的圆心为C(0，0)，半径r＝2．
因为直线mx＋ny－4＝0与圆C：x2＋y2＝4有两个不同的交点，
所以C到直线mx＋ny－4＝0的距离d4，所以点M(m，n)到C(0，0)的距离|MC|＝>2，
即|MC|>r，可知点M在圆C：x2＋y2＝4的外部．
故选B．]
3．BCD [对于A，直线x＋my－m－2＝0可化为(x－2)＋m(y－1)＝0，
所以直线经过x－2＝0与y－1＝0的交点(2，1)，故A项不正确；
对于B，圆(x－1)2＋(y－2)2＝4表示以(1，2)为圆心，半径r＝2的圆，故B项正确；
对于C，圆心(1，2)到点(2，1)的距离d＝，
由d对于D，设圆心M(1，2)，定点N(2，1)，
由C的分析，可知当x＋my－m－2＝0与MN垂直时，直线与圆相交所截弦长最短．
因为|MN|＝d＝，所以最短弦长为2，故D项正确．
故选BCD．]
4．BC [根据题意，圆x2＋y2－2x－6y＋a＝0变形可得(x－1)2＋(y－3)2＝10－a，则有10－a>0，即a<10，其圆心为(1，3)，半径r＝，
圆心到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝＝4，
若圆x2＋y2－2x－6y＋a＝0(a∈R)上至多存在一点，使得该点到直线3x＋4y＋5＝0的距离为2，则＋2≤4，解得a≥6，
而a<10，即a的取值范围为[6，10)．
故选BC．]
5．C [圆C：x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，半径为1，对于A选项，若l：y＝kx＋b与圆C：x2＋y2＝1相切，则＝1，可得b2－k2＝1，A正确；
对于B选项，若4b2－k2＝1，则圆心到直线的距离为，此时直线被圆C截得的弦长为2，B正确；对于C选项，因为4b2－k2＝1，圆心到直线的距离为<1，此时圆上有3个点到直线l的距离相等，C错误；
对于D选项，当b＝时，直线l的方程为y＝kx＋，即直线l过定点，又因为02＋<1，可得定点在圆内，故直线与圆相交，D正确．故选C．]
6．－1 [由圆x2＋y2＝4，可得圆心坐标为C(0，0)，
根据圆的性质，可得当直线l与过点A(1，1)和圆心C的直线垂直时，此时弦长最短，
因为kAC＝1，所以直线l的斜率为k＝－1．]
7．2 [直线l：(m＋2)x＋(m－1)y＋m－1＝0，即(x＋y＋1)m＋2x－y－1＝0，
令所以直线l过定点P(0，－1)，
圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心C(1，0)，半径r＝2，
因为|PC|＝<2，所以点P(0，－1)在圆C内，
则圆心C到直线l的距离d≤|PC|＝(PC⊥l时取等号)，
所以|AB|＝2≥2(PC⊥l时取等号)，
所以|AB|的最小值为2．]
8．x＝2或3x－4y＋10＝0 [由22＋42＝20>4，得点P在圆外，
当过点P的切线斜率存在时，设所求切线的斜率为k，则切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y－2k＋4＝0，
∴＝2，解得k＝．
故所求切线方程为3x－4y＋10＝0．
当过点P的切线斜率不存在时，方程为x＝2，也满足条件．
则直线l的方程为x＝2或3x－4y＋10＝0．]
9．解：(1)∵直线x＋y＋3＝0与圆C相切，且圆心C的坐标为(1，－1)，∴圆C的半径r＝＝3，
则圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9．
(2)联立
得2x2＋2mx＋m2＋2m－7＝0，
由Δ＝4m2－8(m2＋2m－7)>0，解得－2－3，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－m，x1x2＝，
∵OM⊥ON，∴·＝x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0，
∴m2＋2m－7＝0，解得m＝－1±2，符合题意，
∴m＝－1±2．
10．D [依题意，圆C：(x－3)2＋(y－2)2＝16的圆心C(3，2)，半径r＝4，
显然|PC|＝<4＝r，即点P(2，5)在圆C内，设AB的中点为D，连接CD，
设|BD|＝t，则|CD|＝，
∴S△ABC＝·2t·
＝≤＝8，
当且仅当t2＝16－t2，即t＝2时等号成立，
此时，圆心C到直线的距离d＝，
故过点P的直线斜率一定存在，设其方程为y＝k(x－2)＋5，
则d＝，解得k＝1或k＝－，
此时直线方程为x－y＋3＝0或x＋7y－37＝0．
故选D．]
11．B [将圆x2＋y2－4y＝1化成标准形式为x2＋(y－2)2＝5，设圆心为C(0，2)，半径为r＝，因为P(－2，0)，所以|PC|＝2，|PA|＝|PB|＝，
设AB与PC相交于点D，则PC垂直平分AB，且D为AB的中点，
因为S△PAC＝|PA|·|AC|＝|PC|·|AD|，
所以|AD|＝，
|PD|＝，
所以|AB|＝2|AD|＝，
所以S△PAB＝|AB|·|PD|＝××．
故选B．]
12． [设圆心坐标为C(a，b)．
∵圆心在直线y＝－x＋1上，∴b＝－a＋1．
又∵圆与直线l：x＋y－2＝0相切于点P(1，1)，
则CP⊥l．
∴kCP＝＝1．
解得a＝．
∴b＝－a＋1＝．
∴圆心C．
圆的半径r＝|CP|＝．
∴圆的方程为．]
13．解：(1)易知圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4，
所以圆心C的坐标为(2，－2)，半径r＝2．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
此时圆心C到l的距离d＝2＝r，l与圆C相切；
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝kx＋2，
因为直线l与圆C相切，
所以d＝＝r＝2，解得k＝－，
则直线l的方程为3x＋4y－8＝0，
综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－8＝0．
(2)因为A(－1，0)，B(0，2)，
所以直线AB的方程为2x－y＋2＝0，
此时圆心C到直线AB的距离d＝，
所以点P到直线AB的距离的最大值为r＋d＝2＋，
因为|AB|＝，
所以△PAB的面积的最大值Smax＝×|AB|×(r＋d)＝××．
14．± [由题意得C(0，2)，直线MN的斜率存在，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为y＝kx－3，与x2＋(y－2)2＝9联立，得(k2＋1)x2－10kx＋16＝0，Δ＝100k2－64(k2＋1)＝36k2－64>0，得k2>，x1＋x2＝，x1x2＝．
因为S△AON＝S△ACM，所以×3×|x2|＝××5×|x1|，
则|x2|＝2|x1|，于是x2＝2x1，
所以
两式消去x1，得k2＝，
满足Δ>0，所以k＝±．]
6/6课时分层作业(二十二) 直线与圆的位置关系
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共90分
一、选择题
1．已知直线l：x＋2y－3＝0与圆M：x2＋y2－2ax－4y＋5＝0相离，则实数a的取值范围为( )
A． B．(－2，－1)
C．(1，2) D．
故选D．]
2．如果直线mx＋ny－4＝0与圆C：x2＋y2＝4有两个不同的交点，则点M(m，n)与圆C的位置关系为( )
A．M在圆C上
B．M在圆C外
C．M在圆C内
D．M与圆C的位置不确定
3．(多选)已知圆(x－1)2＋(y－2)2＝4与直线x＋my－m－2＝0，下列选项正确的是( )
A．直线过定点(－2，1)
B．圆的圆心坐标为(1，2)
C．直线与圆相交
D．直线与圆相交所截最短弦长为2
4．(多选)若圆x2＋y2－2x－6y＋a＝0(a∈R)上至多存在一点，使得该点到直线3x＋4y＋5＝0的距离为2，则实数a可能为( )
A．5 B．6
C．7 D．10
5．下列关于直线l：y＝kx＋b与圆C：x2＋y2＝1的说法不正确的是( )
A．若直线l与圆C相切，则b2－k2为定值
B．若4b2－k2＝1，则直线l被圆C截得的弦长为定值
C．若4b2－k2＝1，则圆上仅有两个点到直线l的距离相等
D．当b＝时，直线与圆相交
二、填空题
6．过点(1，1)的直线l被圆C：x2＋y2＝4截得的弦长最短，则直线l的斜率为________．
7．直线l：(m＋2)x＋(m－1)y＋m－1＝0与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．
8．已知直线l过点P(2，4)，且与圆O：x2＋y2＝4相切，则直线l的方程为________．
三、解答题
9．在平面直角坐标系中，直线x＋y＋3＝0与圆C相切，圆心C的坐标为(1，－1)．
(1)求圆C的方程；
(2)设直线y＝x＋m与圆C交于M，N两点，且OM⊥ON，求m的值．
10．已知直线l过点P(2，5)，且与圆C：x2＋y2－6x－4y－3＝0交于A，B两点，当△ABC面积最大时，l的方程为( )
A．x－3y＋13＝0
B．x－3y－13＝0或x－3y－17＝0
C．x－y＋3＝0
D．x－y＋3＝0或x＋7y－37＝0
11．过点P(－2，0)作圆x2＋y2－4y＝1的两条切线，设切点分别为A，B，则△PAB的面积为( )
A．
C．
12．圆心在直线y＝－x＋1上，且与直线l：x＋y－2＝0相切于点P(1，1)的圆的方程是________．
13．已知点A(－1，0)，B(0，2)，圆C的方程为x2＋y2－4x＋4y＋4＝0，过点B的直线l与圆C相切，点P为圆C上的动点．
(1)求直线l的方程；
(2)求△PAB面积的最大值．
14．在平面直角坐标系Oxy中，过点A(0，－3)的直线l与圆C：x2＋(y－2)2＝9交于M，N两点，若S△AON＝S△ACM，则直线l的斜率为________．
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