课时分层作业(二十五) 椭圆及其标准方程
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共95分
一、选择题
1．(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是( )
A．当a＝2时，点P的轨迹不存在
B．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D．当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
2．过点(－3，2)且与＝1有相同焦点的椭圆的方程是( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
3．椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在此椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么的值为( )
A． B．4
C．7 D．
4．点P是椭圆＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为( )
A．2 B．
C．
5．已知F1，F2分别是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．24 B．26
C．22 D．24
二、填空题
6．已知F1，F2为椭圆＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝10，则|AB|＝________．
7．已知椭圆＝1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为________．
8．设F1，F2分别是椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆上，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，若a＝2b，则椭圆的标准方程为________．
三、解答题
9．已知椭圆M与椭圆N：＝1有相同的焦点，且椭圆M过点．
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．
10．已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)，A(－2，0)，B(1，2)，C，D四个点中恰有三个点在椭圆E上，则椭圆E的方程是( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＋y2＝1
11．椭圆＝1(a＞)的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆与y轴正半轴的交点，若△AF1F2的面积为，则△AF1F2的周长为( )
A．8 B．7
C．6 D．5
12．(多选)已知F1，F2是椭圆＝1的左、右焦点，M为椭圆上的动点，则下列结论中正确的是( )
A．|MF2|的最大值大于3
B．|MF1|·|MF2|的最大值为4
C．∠F1MF2的最大值为60°
D．若动直线l垂直于y轴，且交椭圆于A，B两点，P为直线l上满足|PA|·|PB|＝2的点，则点P的轨迹方程为＝1或＝1
13．已知椭圆C：mx2＋ny2＝1与y轴的一个交点为(0，3)，焦距为4，则m的值为________．
14．某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的部分路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离之和为8海里处发现过鱼群，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求曲线C的标准方程；
(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，探测仪在A，B两岛上收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)
15．已知点F是椭圆C：＝1的左焦点，P为C上一点，A(0，1)，则|PA|＋|PF|的最小值是________．
3/3课时分层作业(二十五)
1．AC [当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；
当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；
当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误．]
2．C [椭圆＝1的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
所求椭圆与椭圆＝1的焦点相同，且过点(－3，2)，
则2a＝，
∴a＝，得b2＝15－5＝10．
∴所求椭圆的方程为＝1．故选C．]
3．C [由题设知F1(－3，0)，F2(3，0)，
∵线段PF1的中点在y轴上，
∴设P(3，y0)，把P(3，y0)代入椭圆＝1，得．
∴|PF1|＝，|PF2|＝．
∴＝7．故选C．]
4．B [由＝1，得a＝4，b＝，c＝＝3，
所以|PF1|＋|F1F2|＋|PF2|＝2a＋2c＝8＋6＝14，
设△PF1F2的内切圆半径为r，
因为(|PF1|＋|F1F2|＋|PF2|)r＝|F1F2|yP，
所以×14×1＝×6yP，得yP＝．
故选B．]
5．A [由椭圆的方程可得a2＝49，b2＝24，可得c2＝a2－b2＝49－24＝25，则a＝7，c＝5，
由3|PF1|＝4|PF2|，而|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，得|PF1|＝8，|PF2|＝6，
则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2，
所以△PF1F2的面积等于|PF1|·|PF2|＝×8×6＝24．
故选A．]
6．6 [依据题意及椭圆方程知，a＝4，
则|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝16，又|F2A|＋|F2B|＝10，所以|AB|＝6．]
7．7 [椭圆＝1中2a＝10，
∵椭圆＝1上的点P到一个焦点的距离为3，∴P到另一个焦点的距离为10－3＝7．]
8．＋y2＝1 [∵a＝2b，a2＝b2＋c2，∴c2＝3b2，又∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝12b2，由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4b，
∵|PF1|·|PF2|＝2，∴(|PF1|＋|PF2|)2＝12b2＋4＝16b2，解得b2＝1，则a2＝4，故椭圆的标准方程为＋y2＝1．]
9．解：(1)由题意知，椭圆N的焦点为(－2，0)，(2，0)，
则设椭圆M的方程为＝1(a>b>0)，
则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，
故b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5，
故椭圆M的标准方程为＋y2＝1．
(2)由(1)知F1(－2，0)，F2(2，0)，
设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，解得y0＝±．
又＝1，所以，x0＝±，
所以点P有4个，它们的坐标分别为．
10．B [因为C关于x轴对称，所以点C，D在椭圆E上，点B不在椭圆E上，点A在椭圆E上，
所以解得a2＝4，b2＝3，
所以椭圆E的方程为＝1．故选B．]
11．C [由椭圆＝1(a>)知b＝，设半焦距为c，则△AF1F2的面积S＝|F1F2|·b＝c，由题意得，∴c＝1，a＝＝2，
由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，
又|F1F2|＝2c＝2，则△AF1F2的周长为4＋2＝6．
故选C．]
12．BCD [由椭圆方程得a2＝4，b2＝3，所以c2＝1，
所以F1(－1，0)，F2(1，0)．
选项A中，|MF2|max＝a＋c＝3，A错误；
选项B中，|MF1|·|MF2|≤＝4，
当且仅当|MF1|＝|MF2|＝2时取等号，B正确；
选项C中，当点M为椭圆与y轴的交点时，∠F1MF2取得最大值，取M(0，)，得tan，
所以＝30°，∠F1MF2＝60°，C正确；
选项D中，设P(x，y)，A(x1，y)，B(－x1，y)．
因为|PA|·|PB|＝2，所以|x－x1|·|x＋x1|＝2，
所以|x2－|＝2，即＝x2－2．
又由题意知＝1，
所以＝1，
化简得＝1，D正确．故选BCD．]
13． [将(0，3)代入椭圆C方程：mx2＋ny2＝1，解得n＝．
故椭圆方程为mx2＋＝1，
由焦距为4，得c＝2，c2＝4．
由题意知m>0，且m≠，方程可化为＝1，
若椭圆焦点在x轴上，a2＝，b2＝9，则有c2＝－9＝4，
解得m＝；
若椭圆焦点在y轴上，a2＝9，b2＝，则有c2＝9－＝4，
解得m＝．
综上所述，m＝．]
14．解：(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a＝8的椭圆，又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2，
∴曲线C的标准方程为＝1．
(2)由于探测仪在A，B两岛上收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此设鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里，设P(x，y)，由B(2，0)，|PB|＝3，得＝3，
∴
∴点P的坐标为(2，3)或(2，－3)．
15．4－ [由椭圆的方程，可得a＝2，c＝＝1，
设右焦点为F'(1，0)，
因为|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF'|＝2a－(|PF'|－|PA|)≥2a－|AF'|＝4－，
当且仅当A，F'，P三点共线，且A在P，F'之间时不等式取等号．]
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