课时分层作业(二十七) 椭圆的标准方程及其性质的应用
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共95分
一、选择题
1．若点A(－2，3)是椭圆E：＋y2＝m2某条弦的中点，则实数m的值可以是( )
A．
C．－3 D．－4
2．直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是( )
A．
C．
3．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，且点F(0，－1)为椭圆C的一个焦点，则椭圆C与直线y＝1在第一象限的交点坐标为( )
A．
C．(，1) D．
4．若椭圆＝1的弦AB被点P(1，1)平分，则弦AB所在直线的方程为( )
A．4x＋9y－13＝0 B．9x＋4y－13＝0
C．x＋2y－3＝0 D．x＋3y－4＝0
5．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内、外两圈的钢骨架是由两个离心率相同的椭圆组成的对称结构．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”类似，其平面图如图2所示，已知外层椭圆的长轴长为200米，且内、外椭圆的离心率均为，由外层椭圆长轴的一个端点A向内层椭圆引切线AC，若AC的斜率为－，则内层椭圆的短轴长为( )
A．75米 B．50米
C．50米 D．25米
二、填空题
6．直线kx－y＋1＝0(k∈R)与椭圆＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是________．
7．过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若点M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．
8．已知椭圆C：＝1，过点P的直线交椭圆C于A，B两点，若P为线段AB的中点，则直线AB的方程为________．
三、解答题
9．已知椭圆C：＝1，求椭圆C上的点到直线l：x＋2y－25＝0的距离的取值范围．
10．已知点A，B是椭圆＝1上不关于长轴对称的两点，且A，B两点到点M(m，0)的距离相等，则实数m的取值范围为( )
A． B．(－1，1)
C． D．(－2，2)
11．已知椭圆＋y2＝1，若此椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y＝2x＋m对称，则实数m的取值范围是________．
12．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的焦距为12，长半轴长为4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l与椭圆C相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为(－4，1)，求直线l的方程．
13．如图，某市新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆＝1(x≤0)和＝1(x≥0)组成，其中a＞b＞9，“挞圆”内切于矩形(即“挞圆”与矩形各边均有且仅有一个公共点)．
(1)求“挞圆”的方程；
(2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t(t∈(0，15))，求该网箱所占水面面积的最大值．
3/3课时分层作业(二十七)
1．D [已知点A(－2，3)是椭圆E：＋y2＝m2某条弦的中点，
则点A(－2，3)在椭圆E内，所以＋9解得m<－．故选D．]
2．A [由消去y得2x2＋(x－1)2＝4，即3x2－2x－3＝0，∴弦的中点的横坐标是x＝×，代入直线方程y＝x－1中，得y＝－，∴弦的中点坐标是．]
3．D [已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，且点F(0，－1)为椭圆C的一个焦点，
则解得a＝2，b＝，c＝1，所以椭圆方程为＝1，
联立，解得x＝±，
所以椭圆C与直线y＝1在第一象限的交点坐标为．
故选D．]
4．A [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
所以＝0，
整理得，
因为P(1，1)为弦AB的中点，
所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
所以kAB＝，
所以弦AB所在直线的方程为y－1＝－(x－1)，即4x＋9y－13＝0．故选A．]
5．B [内、外椭圆的离心率均为，设内层椭圆的短半轴长为b，e＝，所以a＝2b，
则内层椭圆方程为＝1，
由外层椭圆长轴的一个端点A向内层椭圆引切线AC，AC的方程为y＝－(x＋100)，
代入内层椭圆方程可得x2＋100x＋5 000－2b2＝0，
可得Δ＝10 000－4(5 000－2b2)＝0，解得b2＝1 250．
所以b＝25米．
故选B．]
6．[1，4)∪(4，＋∞) [由于直线y＝kx＋1恒过点M(0，1)，
要使直线y＝kx＋1与椭圆＝1恒有公共点，
则只要M(0，1)在椭圆的内部或在椭圆上即可，
即解得m≥1且m≠4，
故实数m的取值范围为[1，4)∪(4，＋∞)．]
7． [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
因为点M是线段AB的中点，所以＝1，＝1．
因为直线AB的斜率是－，所以y1－y2＝－(x1－x2)．
将①②两式相减，可得＝0，即·＝0．
所以a＝b，c＝b．所以e＝．]
8．3x＋2y－4＝0 [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则3＝12，3＝12，
∴3(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0．
∵P恰为线段AB的中点，即有x1＋x2＝2，y1＋y2＝1，
∴3(x1－x2)＋2(y1－y2)＝0，
∴直线AB的斜率为k＝，
∴直线AB的方程为y－(x－1)，即3x＋2y－4＝0．
由于点P在椭圆内，故成立．]
9．解：设与直线l：x＋2y－25＝0平行且与椭圆C相切的直线方程为x＋2y＋m＝0，m≠－25，
联立整理可得25y2＋16my＋4m2－36＝0，
令Δ＝162m2－4×25×(4m2－36)＝0，可得m＝±5，
即所求的直线方程为x＋2y±5＝0，
可得所求直线与直线x＋2y－25＝0之间的距离为，
所以椭圆上的点到直线l的距离的取值范围为[4，6]．
10．B [设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，线段AB的中点为G(x0，y0)，
则＝0，
所以，
所以，所以，
因为M(m，0)，|MA|＝|MB|，所以MG⊥AB，
所以，所以4x0－4m＝3x0，所以x0＝4m，
因为－4即实数m的取值范围为(－1，1)．
故选B．]
11． [∵椭圆方程为＋y2＝1，∴x2＋2y2－2＝0．
设椭圆上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝2x＋m对称，AB中点为M(x0，y0)，故直线y＝2x＋m是线段AB的垂直平分线．
则＝2，①
＝2，②
①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
即 2x0·(x1－x2)＋2·2y0·(y1－y2)＝0，
∴kAB＝·．
∴y0＝x0，代入直线方程y＝2x＋m得x0＝－m，y0＝－m．
因为点M(x0，y0)在椭圆内部，∴m2＋2·(－m)2<2，
解得－，即实数m的取值范围是．]
12．解：(1)由题可得
所以椭圆C的方程为＝1．
(2)由题意知，直线l的斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则·，因为线段AB的中点坐标为(－4，1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，
所以直线l的斜率k＝·×＝1，
故直线l的方程为y－1＝x＋4，即x－y＋5＝0．
13．解：(1)由题意知a＋9＝34，解得a＝25，又b＝15，
所以“挞圆”方程为＝1(x≤0)和＝1(x≥0)．
(2)设P(x0，t)为矩形网箱在第一象限内的顶点，Q(x1，t)为矩形网箱在第二象限内的顶点，
则＝1，＝1，x0>0，x1<0，
可得x1＝－x0．
所以内接矩形的面积S＝2t(x0－x1)＝2t×x0＝15×34×2··≤15×34＝510，
当且仅当时，S取最大值510．
所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米．
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