课时分层作业(三)
1．B [对于A，由a⊥b，b⊥c可能得a∥c，故A错误；
对于B，a·(b＋c)＝a·b＋a·c，故B正确；
对于C，a·b<0，则a，b的夹角是钝角或平角，故C错误；
对于D，(a·b)c表示与c共线的向量，而a(b·c)表示与a共线的向量，所以(a·b)c与a(b·c)不一定相等．
故选B．]
2．A [因为空间单位向量a，b，c两两垂直，所以a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0．
所以|a－b＋c|2＝a2＋b2＋c2－2a·b＋2a·c－2b·c＝3，
故|a－b＋c|＝．故选A．]
3．AB [对于A，··＝1××＝1，故A正确；
对于B，··()＝···()＝·＝1，故B正确；
对于C，··()＝··＝－1，故C错误；
对于D，··()＝··＝0，故D错误．
故选AB．]
4．ACD [由题意可知，两两垂直，所以···＝0，
即()·＝0．
对于A，()2＝()2＋＋2()·＝()2＋，()2＝()2＋－2()·＝()2＋，所以()2＝()2，
即||，故A正确；
对于B，()·＝()·()＝，
当时，＝0，否则不成立，故B错误；
对于C，||2＋2(···)
＝||2＋2(0＋0＋0)＝||2，
故C正确；
对于D，··()＝0，
同理可得·＝0，·＝0，
所以···，故D正确．故选ACD．]
5．1 [a·b＝|a||b|cos 60°＝2×6×＝6．
2a－b在a方向上的投影向量的模长为
＝1．]
6．a2 [记＝a，＝b，＝c，
由题知|a|＝|b|＝|c|＝a，所以·＝()··，
因为()＝(a－c)，b，
所以·(a－c)·(b·c－b·a)＝＝0，
又a2，所以·a2．]
7．2 [由题意，知·＝0，·＝0，，
所以|···＝62＋42＋82＋2×6×8cos 120°＝68，所以CD＝2．]
8．解：(1)由题意知()－()＝c．
(2)由(1)知(b2＋4b·c＋4c2)＝×，所以|．
(3)·＝c·b·c＋c2＝，
因为cos<．
所以直线AA1与直线MN所成角的余弦值为．
9．B [因为·＝0，·＝0，·＝0，
所以·＝()·()＝···>0，
所以cos∠CBD＝>0，故∠CBD是锐角．同理·>0，·>0，可得∠BCD，∠CDB都是锐角，故△BCD是锐角三角形．故选B．]
10．AC [因为点D是AB的中点，G是CD上的一点，且GC＝2DG，
所以()＝，由于PA＝PC＝2，PB＝1，
故|＝
＝，故A正确，B错误；
因为，所以·＝()·
＝(··)
＝，故C正确，D错误．故选AC．]
11．ABD [对于A，设正方体的棱长为1，在正方体ABCD A1B1C1D1中，<>＝60°，则|×|·sin<××，
因为BD∥B1D1，且∠AD1B1＝60°，所以<>＝120°，
所以|×××，所以|××|，故A正确；
对于B，A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1 A1C1⊥平面BB1D1D，
BD1 平面BB1D1D BD1⊥A1C1，同理BD1⊥A1D，
由右手系知，×共线，故B正确；
对于C，由a，b和a×b构成右手系知，a×b与b×a方向相反，由a×b模的定义知，|a×b|＝|a||b|sin
＝|b|·|a|sin＝|b×a|，
所以a×b＝－b×a，则××，故C错误；
对于D，设正方体棱长为1，6|×|·||·sin 45°＝6×1××＝6，
正方体表面积为6，故D正确．
故选ABD．]
12．－ [由已知得()，，
因此|，
|．
又因为·()·×2－×2＋×2－2＝－2，所以向量．]
13．解：(1)证明：．
因为BB1⊥平面ABC，所以·＝0，·＝0．
又△ABC为正三角形，
所以<．
因为·＝()·()
＝···
＝||·cos<
＝－1＋1＝0，
所以⊥，即AB1⊥BC1．
(2)结合(1)知·|·cos<－1．
又||，
所以|cos<，
所以||＝2，即侧棱长为2．
14．解：如图，过点A作AM⊥CD交CD的延长线于点M，
则CM＝AC·cos∠ACM＝4×cos 30°＝2，CN＝CB·cos∠BCD＝2×cos 30°＝，∴MN＝CM－CN＝．
易知AM＝AC·sin 30°＝2，BN＝BC·sin 30°＝1，且<>＝120°，∴<>＝60°．
∵⊥，∴··＝0．
∵，∴···＝4＋3＋1＋2·||cos 60°＝10．
∴|，即折起后所得线段AB的长度为．
5/5课时分层作业(三) 空间向量的数量积运算
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共100分
一、选择题
1．对于任意空间向量a，b，c，下列说法正确的是( )
A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
B．a·(b＋c)＝a·b＋a·c
C．若a·b＜0，则a，b的夹角是钝角
D．(a·b)c＝a(b·c)
2．已知空间单位向量a，b，c两两垂直，则|a－b＋c|＝( )
A．
C．3 D．6
3．(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
4．(多选)已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，则以下结论中一定成立的是( )
A．||＝||
B．()·＝0
C．||2＝||2＋||2＋||2
D．＝＝
二、填空题
5．已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2a－b在a方向上的投影向量的模长为 ________．
6．如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则＝________．
7．如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为 ________．
三、解答题
8．如图所示，在棱长均为1的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AD＝＝＝，设＝a，＝b，＝c．
(1)试用a，b，c表示；
(2)求MN的长度；
(3)求直线AA1与直线MN所成角的余弦值．
9．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足＝0，＝0，＝0，则△BCD一定是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
10．(多选)如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝PC＝2，PB＝1，且∠APB＝∠CPB＝∠APC＝60°，点D是AB的中点，G是CD上的一点，且GC＝2DG，则下列说法正确的是( )
A．PG＝ B．PG＝
C．＝－ ＝－
11．(多选)在三维空间中，定义向量的外积：a×b叫做向量a与b的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：
①a⊥(a×b)，b⊥(a×b)，且a，b和a×b构成右手系(即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示)；
②a×b的模|a×b|＝|a||b|sin 〈a，b〉(〈a，b〉表示向量a，b的夹角)．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有以下四个结论，正确的有( )
A．||＝||
B．与共线
C．＝
D．6||与正方体表面积的数值相等
12．已知空间四面体OABC各边长都等于2，E，F分别为AB，OC的中点，则向量与向量的夹角的余弦值为________．
13．如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为．
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱长．
14．如图1，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD为∠ACB的平分线，AC＝4，BC＝2，过点B作BN⊥CD于点N，延长后交CA于点E，把图形沿CD折起，使∠BNE＝120°，如图2所示，求折起后所得线段AB的长度．
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