圆锥曲线的光学性质及其应用
1．抛物线的光学性质
(1)焦点：光线的聚集点．
(2)抛物面：由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面，叫做抛物面．
(3)抛物线的性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．
(4)抛物线性质的实际应用：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射集中于它的焦点．人们应用这个原理，设计了太阳灶等生活用具．
2．椭圆的光学性质
从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上．胶片放映机的聚光灯反射镜的形状是旋转椭圆面．
3．双曲线的光学性质
从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样．
【典例】 (1)(多选)用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面(抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面)反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合．若抛物线C：y2＝4x的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线l1从点M射入，经过C上的点A(x1，y1)反射，再经过C上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，则( )
A．C的准线方程为x＝－1
B．y1y2＝－2
C．若点M(2，1)，则|AB|＝
D．设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线l2上
(2)如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭球面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭球面反射后集中到另一个焦点F2．已知BF1⊥F1F2，|F1B|＝，|F1F2|＝4．
①建立如图所示的平面直角坐标系，求截口BAC所在的椭圆的方程；
②若透明窗DE所在的直线与截口BAC所在的椭圆交于一点P，且∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积．
(1)AD [抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，故A正确；由题知直线AB的斜率不为0，
设直线AB的方程为x＝my＋1，与抛物线的方程y2＝4x联立，可得y2－4my－4＝0，
则y1y2＝－4，故B错误；
若点M(2，1)，则A，B(4，－4)，|AB|＝＝，故C错误；
直线OA的方程为y＝x，又＝4x1，即y＝x，
令x＝－1，可得y＝－＝y2，即N(－1，y2)，而直线l2的方程为y＝y2，
则点N在直线l2上，故D正确．
故选AD．]
(2)[解] ①设截口BAC所在椭圆的方程为＝1(a＞b＞0)，
∵BF1⊥F1F2，|F1B|＝，|F1F2|＝4，
∴在Rt△BF1F2中，|F2B|＝＝，
故2a＝|F1B|＋|F2B|＝2，得a＝，
又2c＝|F1F2|＝4，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝2，
∴所求椭圆的方程为＝1．
②∵点P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，
又∠F1PF2＝90°，即△F1PF2为直角三角形，
∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝16．
由得|PF1|·|PF2|＝4，
故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝2．
(1)已知椭圆＝1(a>b>0)，其焦点分别为F(c，0)，F′(－c，0)，则由一个焦点射向椭圆上任意一点的光波或声波，经该椭圆反射后必经过另一个焦点，椭圆的这一独特的光学性质在现实生活中有着广泛的应用．
(2)解决与抛物线有关的实际应用问题时，一般可根据题意(或图形)建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，依据题意得到抛物线上一点的坐标，从而可求出抛物线的标准方程，进而利用其几何性质进行推理、运算．
1．一种卫星接收天线如图1所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点F处，如图2所示．已知接收天线的口径AB为4.8 m，深度为1 m．若P为接收天线上一点，则点P与焦点F间的最短距离为( )
A．0.72 m B．1.44 m
C．2.44 m D．2.88 m
B [以线段AB的中垂线为x轴，抛物线
与x轴的交点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则由题意可得A(1，2.4)．
设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，将点A的坐标代入得＝2p，即2p＝5.76，所以p＝2.88，抛物线的方程为y2＝5.76x．
设P(x0，y0)，则点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离，即|PF|＝x0＋＝x0＋1.44≥1.44．故选B．]
2．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下面的问题：如图所示，已知椭圆C的方程为＝1，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C相切于点P，且|PF1|＝，过点P且与直线l垂直的直线l′与椭圆长轴交于点M，则|F1M|∶|F2M|＝________．
3∶5 [由椭圆的光学性质得到PM平分∠F1PF2，所以＝，由|PF1|＝，|PF1|＋|PF2|＝4得到|PF2|＝，故|F1M|∶|F2M|＝3∶5．]
3．光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点出发．如图，椭圆C：＝1(a>b>0)与双曲线C′：＝1(m>0，n>0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为________．
2k(a－m) [光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，如图，
|BF2|＝2m＋|BF1|，
|BF1|＋|BA|＋|AF1|＝|BF2|－2m＋|BA|＋|AF1|＝|AF2|＋|AF1|－2m＝2a－2m，
所以光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k(a－m)．]
5/5 圆锥曲线的光学性质及其应用
1．抛物线的光学性质
(1)焦点：光线的聚集点．
(2)抛物面：由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面，叫做抛物面．
(3)抛物线的性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．
(4)抛物线性质的实际应用：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射集中于它的焦点．人们应用这个原理，设计了太阳灶等生活用具．
2．椭圆的光学性质
从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上．胶片放映机的聚光灯反射镜的形状是旋转椭圆面．
3．双曲线的光学性质
从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样．
【典例】 (1)(多选)用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面(抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面)反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合．若抛物线C：y2＝4x的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线l1从点M射入，经过C上的点A(x1，y1)反射，再经过C上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，则( )
A．C的准线方程为x＝－1
B．y1y2＝－2
C．若点M(2，1)，则|AB|＝
D．设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线l2上
(2)如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭球面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭球面反射后集中到另一个焦点F2．已知BF1⊥F1F2，|F1B|＝，|F1F2|＝4．
①建立如图所示的平面直角坐标系，求截口BAC所在的椭圆的方程；
②若透明窗DE所在的直线与截口BAC所在的椭圆交于一点P，且∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积．
[尝试解答]
(1)已知椭圆＝1(a>b>0)，其焦点分别为F(c，0)，F′(－c，0)，则由一个焦点射向椭圆上任意一点的光波或声波，经该椭圆反射后必经过另一个焦点，椭圆的这一独特的光学性质在现实生活中有着广泛的应用．
(2)解决与抛物线有关的实际应用问题时，一般可根据题意(或图形)建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，依据题意得到抛物线上一点的坐标，从而可求出抛物线的标准方程，进而利用其几何性质进行推理、运算．
1．一种卫星接收天线如图1所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点F处，如图2所示．已知接收天线的口径AB为4.8 m，深度为1 m．若P为接收天线上一点，则点P与焦点F间的最短距离为( )
A．0.72 m B．1.44 m
C．2.44 m D．2.88 m
2．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下面的问题：如图所示，已知椭圆C的方程为＝1，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C相切于点P，且|PF1|＝，过点P且与直线l垂直的直线l′与椭圆长轴交于点M，则|F1M|∶|F2M|＝________．
3．光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点出发．如图，椭圆C：＝1(a>b>0)与双曲线C′：＝1(m>0，n>0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为________．
3/3
