【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.3 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 课件--2026版高中数学人教A版选必修1

复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第一章
空间向量与立体几何
1.3　空间向量及其运算的坐标表示
1.3.2　空间向量运算的坐标表示
[学习目标]　
1．掌握空间向量运算的坐标表示．(数学运算)
2．掌握空间两点间的距离公式，并会用向量的坐标解决一些简单的几何问题．(数学运算、逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．如何用坐标来表示空间向量的运算？
问题2．如何用坐标来表示空间向量平行和垂直的条件、模和夹角的计算公式？
问题3．空间两点间的距离公式是什么？
探究建构 关键能力达成
探究1　空间向量的坐标运算
问题1　你能类比平面向量运算的坐标表示得出空间向量运算的坐标表示吗？若能，请尝试证明．
[提示]　设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．
证明如下：设{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，则a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k，所以a±b＝(a1±b1)i＋(a2±b2)j＋(a3±b3)k＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)，
λa＝λ(a1i＋a2j＋a3k)＝λa1i＋λa2j＋λa3k＝(λa1，λa2，λa3)，
a·b＝(a1i＋a2j＋a3k)·(b1i＋b2j＋b3k)＝a1b1＋a2b2＋a3b3
(由数量积的分配律及i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0得)．
[新知生成]
1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa
(λa1，λa2，λa3)
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
2．设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则????????＝___________________．
即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标____起点坐标．
?
(x2－x1，y2－y1，z2－z1)
减去
【教用·微提醒】　(1)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
(2)向量线性运算的结果仍是向量；数量积的结果为数量．
[典例讲评]　1．在△ABC中，A(2，－5，3)，????????＝(4，1，2)，????????＝(3，－2，5)．
(1)求顶点B，C的坐标；
(2)求????????·????????；
(3)若点P在AC上，且????????＝12????????，求点P的坐标．
?
[解]　(1)设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，
所以????????＝(x－2，y＋5，z－3)，
????????＝(x1－x，y1－y，z1－z)．
因为????????＝(4，1，2)，
所以?????2=4，????+5=1，?????3=2， 解得????=6，???????=?4，????=5，????
所以点B的坐标为(6，－4，5)．
?
因为????????＝(3，－2，5)，
所以????1?6=3，???????1+4=?2，????1?5=5，??? 解得????1=9，???????1=?6，????1=10，?
所以点C的坐标为(9，－6，10)．
(2)因为????????＝(－7，1，－7)，
所以????????·????????＝－21－2－35＝－58．
?
(3)设P(x2，y2，z2)，
则????????＝(x2－2，y2＋5，z2－3)，????????＝(9－x2，－6－y2，10－z2)，
于是有(x2－2，y2＋5，z2－3)＝12(9－x2，－6－y2，10－z2)，
所以????2?2=12?9?????2，???????2+5=12??6?????2，????2?3=12?10?????2，? 解得????2=133?，????????2=?163?，????2=163?，????
故点P的坐标为133，?163，163．
?
反思领悟　空间向量坐标运算的规律
(1)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．
(2)由条件求向量或点的坐标：把向量或点的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．
[学以致用]　1．已知向量a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)，则a·(2b－c)＝(　　)
A．12 B．－12
C．9 D．－9
√
A　[2b－c＝2×(2，0，3)－(0，0，2)＝(4，0，4)，
则a·(2b－c)＝(2，－3，1)·(4，0，4)＝8＋4＝12．
故选A．]
2．已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求点P的坐标，使：
(1)????????＝12(?????????????????)；(2)????????＝12(?????????????????)．
?
[解]　(1)∵????????＝(2，6，－3)，????????＝(－4，3，1)，
∴?????????????????＝(6，3，－4)．
????????＝12×(6，3，－4)＝3，32，?2，则点P的坐标为3，32，?2．
?
(2)设点P的坐标为(x，y，z)，则????????＝(x－2，y＋1，z－2)．
∵12(?????????????????)＝????????＝3，32，?2，∴x＝5，y＝12，z＝0，
则点P的坐标为5，12，0．
?
探究2　空间向量平行、垂直的坐标表示及应用
问题2　设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b，a⊥b的充要条件分别是什么？对于空间向量是不是也有类似的结论？
[提示]　a∥b?x1y2－x2y1＝0；a⊥b?x1x2＋y1y2＝0．对于空间向量也有类似结论．
[新知生成]
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
平行(a∥b)
a∥b(b≠0)?a＝λb?___________________________
垂直(a⊥b)
a⊥b?a·b＝0?_____________________ (a，b均为非零向量)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
【教用·微提醒】　(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)．
(2)当b的坐标中b1，b2，b3都不等于0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b?????1????1＝????2????2＝????3????3．
?
考向1　由平行、垂直关系求参数
[典例讲评]　2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3????1????＝????????1，若PQ⊥AE，????????＝λ????????，求λ的值．
?
[解]　如图所示，以点D为原点，分别以????????，????????，????????1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，E0，0，12，
B(1，1，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，D(0，0，0)，
由题意，可设点P的坐标为(a，a，1)，因为3????1????＝????????1，
所以3(a－1，a－1，0)＝(－a，－a，0)，所以3a－3＝－a，解得a＝34，所以点P的坐标为34，34，1．由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)，因为PQ⊥AE，所以????????·????????＝0，所以?????34，?????34，?1·?1，0，12＝0，即－?????34?12＝0，解得b＝14，所以点Q的坐标为14，14，0．因为????????＝λ????????，所以(－1，－1，0)＝λ14，14，0，所以????4＝－1，故λ＝－4．
?
1．若本例中删掉3????1????＝????????1，将“PQ⊥AE”改为“B1Q⊥EQ”，其他条件不变，结果如何？
?
[解]　以点D为原点，????????，????????，????????1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，点Q的坐标为(c，c，0)，因为B1Q⊥EQ，所以????1????·????????＝0，所以(c－1，c－1，－1)·????，????，?12＝0，即c(c－1)＋c(c－1)＋12＝0，4c2－4c＋1＝0，解得c＝12，所以点Q的坐标为12，12，0，所以点Q是线段BD的中点，所以????????＝－2????????，故λ＝－2．
?
[母题探究]
1．若本例中删掉3????1????＝????????1，将“PQ⊥AE”改为“B1Q⊥EQ”，其他条件不变，结果如何？
?
2．本例中，若点G是A1D的中点，点H在平面Dxy上，且GH∥BD1，试判断点H的位置．
[解]　以点D为原点，????????，????????，????????1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，
因为点G是A1D的中点，所以点G的坐标为12，0，12，
因为点H在平面Dxy上，
设点H的坐标为(m，n，0)，因为????????＝?????12，????，?12，????????1＝(－1，－1，1)，且GH∥BD1，所以?????12?1＝?????1＝?121，解得m＝1，n＝12．
所以点H的坐标为1，12，0，所以点H为线段AB的中点．
?
反思领悟　判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解．
[学以致用]　3．已知p＝(1，1，a)(a＞0)，q＝(2，b，1)，r＝(c，1，0)(c＞0)．
(1)若(p＋q)∥(p－q)，求a，b的值；
(2)若|r|＝2且(p－2q)⊥(p－r)，求a，c的值．
?
[解]　(1)已知p＝(1，1，a)(a＞0)，q＝(2，b，1)，r＝(c，1，0)(c＞0)，
则p＋q＝(3，1＋b，a＋1)，p－q＝(－1，1－b，a－1)，∵(p＋q)∥(p－q)，
∴1+????=?31?????，????+1=?3?????1，
解得a＝12，b＝2．
?
(2)由题意得，p－2q＝(－3，1－2b，a－2)，p－r＝(1－c，0，a)，
∵|r|＝2且(p－2q)⊥(p－r)，
∴????2+1=2，?????????????????????????31?????+?????????2=0，
解得a＝2，c＝1．
?
考向2　向量的平行、垂直关系在立体几何证明中的应用
[典例讲评]　【链接教材P20例2】
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD和A1C1的中点．
求证：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；
(2)A1G⊥平面EFD．
[证明]　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)．由中点坐标公式，得E1，1，12，F1，12，0，G12，1，0，H12，12，1．
?
(1)????????1＝(1，0，1)，????????＝12，0，12，????????＝?12，?12，12．
因为????????1＝2????????，????????1·????????＝1×?12＋1×12＝0，
所以????????1∥????????，????????1⊥????????，即????????1∥????????，????????1⊥EH．
(2)????1????＝12，1，?1，????????＝1，?12，0，????????＝1，0，12．
因为????1????·????????＝12?12＋0＝0，
????1????·????????＝12＋0－12＝0，
所以????1????⊥????????，????1????⊥????????，所以A1G⊥DF，A1G⊥DE，
因为DF∩DE＝D，所以A1G⊥平面EFD．
?
【教材原题·P20例2】
例2　如图1.3-8，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证EF⊥DA1．
[分析]　要证明EF⊥DA1，只要证明????????⊥????????1，即证????????·????????1＝0．我们只要用坐标表示????????，????????1，并进行数量积运算即可．
?
[证明]　不妨设正方体的棱长为1，建立如图1.3-8所示的空间直角坐标系Oxyz，则
E1，1，12，F12，12，1，所以????????＝?12，?12，12．
又A1(1，0，1)，D(0，0，0)，所以????????1＝(1，0，1)．
所以????????·????????1＝?12，?12，12·(1，0，1)＝0．
所以????????⊥????????1，即EF⊥DA1．
?
反思领悟　利用向量的坐标运算证明平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．
[学以致用]　4．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF．
?
[证明]　(1)如图，建立空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE，
则点N，E的坐标分别为22，22，0，(0，0，1)．
∴????????＝?22，?22，1．
又点A，M的坐标分别是(2，2，0)，22，22，1，
∴????????＝?22，?22，1．∴????????＝????????．又NE与AM不共线，
∴NE∥AM．
又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，∴AM∥平面BDE．
?
(2)由(1)知????????＝?22，?22，1．∵D(2，0，0)，F(2，2，1)，
∴????????＝(0，2，1)，∴????????·????????＝0，∴????????⊥????????，即AM⊥DF．
同理，????????⊥????????，即AM⊥BF．
又DF∩BF＝F，且DF?平面BDF，BF?平面BDF，∴AM⊥平面BDF．
?
探究3　夹角和距离的计算
问题3　我们已经知道|????????|＝????12+????22+????32是点A(a1，a2，a3)到原点O(0，0，0)的距离．如图所示，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，你能猜想出这两点之间的距离公式吗？为什么？
?
[提示]　由|OA|＝|????????|
＝????12+????22+????32＝????1?02+????2?02+????3?02，
可以类比猜想得出|P1P2|
＝|????1????2|＝????2?????12+????2?????12+????2?????12．
通过推理可以得出其正确性：因为????1????2＝????????2?????????1＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，所以|????1????2|＝????2?????12+????2?????12+????2?????12．
?
[新知生成]
1．空间两点间的距离公式：设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，P1P2＝|????1????2|＝????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．
2．空间向量的夹角公式：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
cos 〈a，b〉＝????·????????????＝???????????????????????????????????????????????????????????????????．
?
????2?????12+????2?????12+????2?????12
?
????1????1+????2????2+????3????3????12+????22+????32????12+????22+????32
?
【教用·微提醒】　(1)空间两直线夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与CD所成的角为θ，cos θ＝|cos 〈????????，????????〉|．
(2)求空间中线段的长度即对应空间向量的模，因此空间两点间的距离公式就是空间向量模的计算公式．
?
[典例讲评]　【链接教材P21例3】
4．(源自湘教版教材)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求CE的长；
(3)求EF与CG所成角的余弦值．
[解]　如图所示，以D为原点，分别以????????，????????，????????1的方向为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，E0，0，12，C(0，1，0)，F12，12，0，G1，1，12．
(1)证明：????????＝12，12，?12，????????＝12，?12，0．
因为????????·????????＝12×12+12×?12+?12×0＝0，
所以????????⊥????????，即EF⊥CF．
?
(2)因为????????＝0，?1，12，所以|????????|＝02+?12+122＝52．
(3)由????????＝1，0，12及(1)得
????????·????????＝12×1＋12×0＋?12×12＝14．
又|????????|＝122+122+?122＝32，|????????|＝12+02+122＝52，
所以cos 〈????????，????????〉＝????????·????????????????????????＝1432×52＝1515．
因此EF与CG所成角的余弦值为1515．
?
【教材原题·P21例3】
例3　如图1.3-9，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱A1B1，C1D1上，B1E1＝14A1B1，D1F1＝14C1D1．
(1)求AM的长．
(2)求BE1与DF1所成角的余弦值．
?
[分析]　(1)利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点A，M的坐标，利用空间两点间的距离公式求出AM的长．(2)BE1与DF1所成的角就是????????1，????????1所成的角或它的补角．因此，可以通过????????1，????????1的坐标运算得到结果．
?
[解]　(1)建立如图1.3-9所示的空间直角坐标系Oxyz，则点A的坐标为(1，0，0)，点M的坐标为12，1，12．于是
AM＝12?12+1?02+12??02＝62．
?
(2)由已知，得
B(1，1，0)，E11，34，1，D(0，0，0)，F10，14，1，
所以????????1＝1，34，1－(1，1，0)＝0，?14，1，
????????1＝0，14，1－(0，0，0)＝0，14，1，
|????????1|＝174，|????????1|＝174．
所以????????1·????????1＝0×0＋?14×14＋1×1＝1516．
所以cos 〈????????1，????????1〉＝????????1·????????1????????1????????1＝1516174×174＝1517．
所以，BE1与DF1所成角的余弦值是1517．
?
发现规律　用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的基本思路是什么？
[提示]　(1)根据条件建立适当的空间直角坐标系；
(2)写出相关点的坐标，用向量表示相关元素；
(3)通过向量的坐标运算求夹角和距离．
[学以致用]　5．(源自北师大版教材)如图所示，三棱柱ABC-A′B′C′中，侧棱与底面垂直，CA＝CB＝1，∠BCA＝π2，棱AA′＝2，点M，N分别是A′B′和A′A的中点．
(1)求|????????|；
(2)求cos 〈????????′，????????′〉的值；
(3)求证：????′????⊥????′????．
?
[解]　如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
(1)由题意，得B(0，1，0)，N(1，0，1)．
则????????＝(1，－1，1)，
|????????|＝12+?12+12＝3．
?
(2)由题意，得B(0，1，0)，C(0，0，0)，A′(1，0，2)，B′(0，1，2)．
因为????????′＝(1，－1，2)，????????′＝(0，1，2)，
所以|????????′|＝12+?12+22＝6，|????????′|＝02+12+22＝5，
????????′·????????′＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3，
cos 〈????????′，????????′〉＝????????′·????????′????????′????????′＝36×5＝3010．
故cos 〈????????′，????????′〉的值为3010．
?
(3)证明：由题意，得A′(1，0，2)，B(0，1，0)，C′(0，0，2)，M12，12，2．
因为????′????＝(－1，1，－2)，????′????＝12，12，0，
所以????′????·????′????＝(－1)×12＋1×12＋(－2)×0＝0，即????′????⊥????′????．
?
应用迁移 随堂评估自测
1．(教材P22练习T3改编)在y轴上有一点C到点A(1，0，2)的距离是到点B(2，－3，2)的12，则点C的坐标为(　　)
A．(0，－2，0) B．(0，－1，0)
C．(0，1，0) D．(0，2，0)
?
√
C　[在y轴上有一点C到点A(1，0，2)的距离是到点B(2，－3，2)的12，设C(0，a，0)，
可得12+?????2+22＝1222+?3?????2+22，
解得a＝1，所以点C的坐标为(0，1，0)．
故选C．]
?
2．已知点B(3，－1，0)，????????＝(－2，－5，3)，则点A的坐标为
(　　)
A．(1，－6，3) B．(5，4，－3)
C．(－1，6，－3) D．(2，5，－3)
?
√
B　[设点A(x，y，z)，则????????＝(3－x，－1－y，－z)，
又因为????????＝(－2，－5，3)，
所以3?????=?2，????1?????=?5，?????=3，????????????解得????=5，???????=4，???????=?3．
所以A(5，4，－3)．
故选B．]
?
3．已知空间向量a＝(－1，m，2)，b＝(－1，2，－1)，若a·b＝
－3，则a与b的夹角为(　　)
A．π6 B．π3
C．2π3 D．5π6
?
√
C　[由于向量a＝(－1，m，2)，b＝(－1，2，－1)，a·b＝1＋2m－2＝－3，则m＝－1．故a＝(－1，－1，2)，b＝(－1，2，－1)，设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝????·????????????＝?36×6＝－12，由于0≤θ≤π，故θ＝2π3．
故选C．]
?
4．与a＝(2，－1，2)共线且满足a·b＝－9的向量b＝________________．
(－2，1，－2)　[∵a与b共线，∴可设b＝λa，
∴a·b＝a·λa＝λ·a2＝λ·|a|2＝λ·(4+1+4)2＝9λ＝－9，
∴λ＝－1．∴b＝－a＝(－2，1，－2)．]
?
(－2，1，－2)
1．知识链：
2．方法链：直接法，类比、转化，待定系数法．
3．警示牌：(1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等．
(2)求异面直线所成的角时易忽略范围，讨论向量夹角易忽略向量共线的情况．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何用空间向量的坐标运算表示平行、垂直、模及夹角？
[提示]　设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则当b≠0时，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
当a≠0，b≠0时，a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝????·????＝????12+????22+????32；cos 〈a，b〉＝????·????????????＝????1????1+????2????2+????3????3????12+????22+????32????12+????22+????32．
?
2．如何用空间向量的坐标运算来研究平行、垂直、夹角和距离？
[提示]　(1)根据条件建立适当的空间直角坐标系；
(2)求出相关点的坐标，用向量表示相关元素；
(3)通过向量的坐标运算研究平行、垂直、夹角和距离．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
一、选择题
1．已知a＝(1，2，2)，b＝(1，4，t)，若a·b＝1，则t＝(　　)
A．－92　　　　B．－4　　　　C．4　　　　D．92
?
课时分层作业(六)　空间向量运算的坐标表示
√
B　[因为a＝(1，2，2)，b＝(1，4，t)，
所以a·b＝1＋8＋2t＝1，解得t＝－4．故选B．]
题号
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2．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(2，－1，1)，B(1，1，2)，若点C与点B关于平面Ozx对称，则|????????|＝(　　)
A．2 B．6
C．14 D．22
?
√
A　[因为点B(1，1，2)，又点C与点B关于平面Ozx对称，可得C(1，－1，2)，
则向量????????＝(－1，0，1)，所以|????????|＝?12+02+12＝2．
故选A．]
?
3．(多选)已知向量a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，则下列说法正确的是(　　)
A．a＋b＝(0，1，3) B．|a|＝3
C．a·b＝2 D．cos 〈a，b〉＝1515
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题号
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√
√
AD　[对于A，∵向量a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，
∴a＋b＝(0，1，3)，故A正确；
对于B，|a|＝12+12+12＝3，故B错误；
对于C，a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，
由数量积的定义得a·b＝1×(－1)＋1×0＋1×2＝1，故C错误；
对于D，|b|＝?12+02+22＝5，
∴cos 〈a，b〉＝????·????????????＝13×5＝1515，故D正确．故选AD．]
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题号
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4．已知a＝(1－t，2－t，t)，b＝(2，t，t)，则|a－b|的最小值为
(　　)
A．55 B．555
C．115 D．455
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√
题号
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D　[由题意得a－b＝(－1－t，2－2t，0)，
∴|a－b|＝?1?????2+2?2????2
＝5????2?6????+5＝5?????352+165≥455，
当且仅当t＝35时取等号，∴|a－b|的最小值为455．
故选D．]
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题号
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√
5．已知空间三点O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(0，2，2)，在直线OB上有一点H满足AH⊥OB，则点H的坐标为(　　)
A．?12，?12，0 B．?12，12，0
C．0，?12，12 D．0，12，12
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题号
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D　[由题意知：????????＝(－1，1，0)，????????＝(0，2，2)，
设????????＝λ????????＝(0，2λ，2λ)(λ∈R)，∴????????＝?????????????????＝(1，2λ－1，2λ)，∵AH⊥OB，∴????????·????????＝0＋2(2λ－1)＋4λ＝0，解得λ＝14，
∴????????＝0，12，12，又O(0，0，0)，∴H0，12，12．故选D．]
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题号
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二、填空题
6．已知a＝(2，x，－1)，b＝(1，2，0)，a·b＝2，则|a|＝________．
题号
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5　[因为a＝(2，x，－1)，b＝(1，2，0)，a·b＝2，
所以2＋2x＝2，解得x＝0，
所以|a|＝22+02+?12＝5．]
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5
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7．已知向量a＝(－1，2，3)，b＝(1，－2，－1)，若a⊥(a＋λb)，则实数λ的值为________．
题号
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74　[因为a＝(－1，2，3)，b＝(1，－2，－1)，
则a2＝(－1)2＋22＋32＝14，a·b＝(－1)×1＋2×(－2)＋3×(－1)＝－8，
因为a⊥(a＋λb)，
所以a·(a＋λb)＝a2＋λa·b＝14－8λ＝0，
解得λ＝74，所以实数λ的值为74．]
?
74
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8．在空间直角坐标系中已知A(1，2，1)，B(1，0，2)，C(－1，1，4)，CD为△ABC的边AB上的高，则CD＝________．
题号
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3　[因为A(1，2，1)，B(1，0，2)，C(－1，1，4)，
则????????＝(－2，－1，3)，????????＝(0，－2，1)，
故????????·????????＝5，|????????|＝14，|????????|＝5，
????????在????????方向上的投影为????????·????????????????＝55＝5，
因为CD为△ABC的边AB上的高，则在Rt△ADC中，CD＝????????2?(5)2＝3.]
?
3
三、解答题
9．已知向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
(2)求向量a＋c与b＋c所成角θ的余弦值．
题号
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[解]　(1)∵向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，且a∥b，b⊥c，
∴????1＝1????＝2?2，??????3+?????2????＝0，解得x＝－1，y＝－1，z＝1，∴向量a＝(－1，1，2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3，1，1)．
(2)∵a＋c＝(2，2，3)，b＋c＝(4，0，－1)，
∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，
|a＋c|＝22+22+32＝17，????+????＝42+02+?12＝17，
∴a＋c与b＋c所成角的余弦值为cos θ＝????+????·????+????????+????????+????＝517×17＝517.
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题号
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10．(多选)已知点P是△ABC所在的平面外一点，若????????＝(－2，1，4)，????????＝(1，－2，1)，????????＝(4，2，0)，则(　　)
A．AP⊥AB B．AP⊥BP
C．BC＝53 D．AP⊥BC
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题号
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√
√
√
ACD　[因为????????＝(－2，1，4)，????????＝(1，－2，1)，????????＝(4，2，0)，
对于A，由????????·????????＝－2×1＋1×(－2)＋4×1＝0，所以????????⊥????????，即AP⊥AB，选项A正确；
对于B，由????????＝?????????????????＝(3，－3，－3)，可得????????·????????＝3×1＋(－3)×(－2)＋(－3)×1＝6≠0，
所以????????与????????不垂直，即AP与BP不垂直，选项B错误；
对于C，由????????＝?????????????????＝(6，1，－4)，可得|????????|＝62+12+?42＝53，
即BC＝53，选项C正确；
对于D，由????????·????????＝1×6＋(－2)×1＋1×(－4)＝0，所以????????⊥????????，即AP⊥BC，选项D正确．故选ACD．]
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11．(多选)已知向量a＝(1，1，－1)，b＝(1，－1，6)，则(　　)
A．向量c＝?33，?33，33是与向量a方向相反的单位向量
B．|a|＝2|b|
C．向量a，b的夹角的大小为2π3
D．若向量m＝(3，1，6－2)＝xa＋yb(x，y为实数)，则x－y＝－1
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题号
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√
√
AC　[对于A，因为a＝(1，1，－1)，c＝?33，?33，33，所以a＝
－3c，且|c|＝?332+?332+332＝1，选项A正确；
对于B，由|a|＝12+12+?12＝3，|b|＝12+?12+62＝22，得|a|＝64|b|，选项B错误；
对于C，由a·b＝1－1－6＝－6，得cos 〈a，b〉＝????·????????????＝?63×22＝
－12，可得向量a，b的夹角的大小为2π3，选项C正确；
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题号
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对于D，由m＝xa＋yb，即(3，1，6－2)＝x(1，1，－1)＋y(1，
－1，6)，
即????+????=3，?????????????????????????=1，????????????????6?????????=6?2，解得x＝2，y＝1，所以x－y＝1，选项D错
误．故选AC．]
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题号
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12．已知空间向量a＝(－1，2，4)，b＝(1，－4，2)，c＝(x，4，z)．
(1)若(a＋2b)⊥c，且x＝2，则z＝________；
(2)若a，b，c共面，在以下三个条件中①x＝1，②x＝0，③x＝－2选取一个作为已知，则z的值可以为 _____________________________
_________________．
题号
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114
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－22或－12或8(写出其中任意一
个即可)
(1)114　(2)－22或－12或8(写出其中任意一个即可)　[(1)当x＝2时，c＝(2，4，z)，
因为a＝(－1，2，4)，b＝(1，－4，2)，
所以a＋2b＝(1，－6，8)，
因为(a＋2b)⊥c，所以(a＋2b)·c＝1×2－6×4＋8z＝0，
解得z＝114．
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题号
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(2)因为a，b，c共面，
所以由空间向量基本定理可知，c＝λa＋μb，
选①x＝1，则(1，4，z)＝(－λ，2λ，4λ)＋(μ，－4μ，2μ)＝(－λ＋μ，2λ－4μ，4λ＋2μ)，
故?????+????=1，2?????4????=4，4????+2????=????，解得z＝－22．
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题号
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选②x＝0，则(0，4，z)＝(－λ，2λ，4λ)＋(μ，－4μ，2μ)＝(－λ＋μ，2λ－4μ，4λ＋2μ)，
故?????+????=0，??2?????4????=4，4????+2????=????，解得z＝－12．
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题号
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选③x＝－2，则(－2，4，z)＝(－λ，2λ，4λ)＋(μ，－4μ，2μ)＝(－λ＋μ，2λ－4μ，4λ＋2μ)，
故?????+????=?2，2?????4????=4，?4????+2????=????，??解得z＝8．
综上所述，z的值可以为－22或－12或8．]
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题号
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13．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝3，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．
(1)求AC与PB所成角的余弦值；
(2)在侧面PAB内找一点N，
使NE⊥平面PAC，求N点的坐标．
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题号
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[解]　(1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(3，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E0，12，1，从而????????＝(3，1，0)，????????＝(3，0，－2)．
设????????与????????所成的夹角为θ，则
cos θ＝????????·????????????????????????＝327＝3714．
∴AC与PB所成角的余弦值为3714．
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题号
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(2)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，0，z)，则????????＝?????，12，1?????，
由NE⊥平面PAC，可得????????·????????=0，????????·????????=0，
即?????，12，1?????·0，0，2=0，????????，12，1?????·3，1，0=0，化简得?????1=0，??????????3????+12=0，∴????=36，????=1，???
即N点的坐标为36，0，1时，NE⊥平面PAC．
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题号
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14．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD．在四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝2，∠CDA＝45°．设AB＝AP，在线段AD上是否存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．
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题号
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[解]　∵PA⊥平面ABCD，且AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD．
∵AB⊥AD，∴AP，AB，AD两两垂直．
∴以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．
在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD．
在Rt△CDE中，DE＝CD·cos 45°＝1，CE＝CD·sin 45°＝1．
题号
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设AB＝AP＝t，则B(t，0，0)，P(0，0，t)．
由AB＋AD＝4，得AD＝4－t，
∴E(0，3－t，0)，C(1，3－t，0)，D(0，4－t，0)．
假设在线段AD上存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．
设G(0，m，0)(其中0≤m≤4－t)，则????????＝(1，3－t－m，0)，????????＝(0，4－t－m，0)，????????＝(0，－m，t)，????????＝(t，－m，0)．
由|????????|＝|????????|，得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，即t＝3－m．①
由|????????|＝|????????|，得(4－t－m)2＝m2＋t2．②
由①②消去t，化简得m2－3m＋4＝0．③
由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．
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谢 谢！