【学霸笔记：同步精讲】第一章 高考命题探源(一) 课件--2026版高中数学人教A版选必修1

复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第一章
空间向量与立体几何
高考命题探源(一)
探源1　线面位置关系问题
[命题点分析]　高考卷中线、面的平行和垂直问题一般不用向量法求解，但利用向量的坐标运算证明线、面的平行与垂直可以将逻辑推理转化为代数运算，降低思维难度，主要以解答题的形式呈现，难度中等．主要考查直观想象学科素养．
【案例1】　(2022·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　　)
A．平面B1EF⊥平面BDD1
B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC
D．平面B1EF∥平面A1C1D
√
A　[在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD，
又EF?平面ABCD，所以EF⊥DD1，
因为E，F分别为AB，BC的中点，
所以EF∥AC，所以EF⊥BD，
又BD∩DD1＝D，
所以EF⊥平面BDD1，又EF?平面B1EF，
所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确；
如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB＝2，
则B1(2，2，2)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，
则????????＝(－1，1，0)，????????1＝(0，1，2)，????????＝(2，2，0)，????????1＝(2，0，2)，????????1＝(0，0，2)，????????＝(－2，2，0)，????1????1＝(－2，2，0)，
设平面B1EF的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则有????·????????=?????1+????1=0，????·????????1=????1+2????1=0，可取m＝(2，2，－1)，
?
同理可得平面A1BD的一个法向量为n1＝(1，－1，－1)，
平面A1AC的一个法向量为n2＝(1，1，0)，
平面A1C1D的一个法向量为n3＝(1，1，－1)，
则m·n1＝2－2＋1＝1≠0，
所以平面B1EF与平面A1BD不垂直，故B错误；
因为m与n2不平行，
所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误；
因为m与n3不平行，
所以平面B1EF与平面A1C1D不平行，故D错误．故选A．]
[考题来源]　本考题来源于教材P33练习T3和P43习题1.4T12的综合，高考题和教材习题高度一致，高考题把教材中两个练习题综合起来考查，既考查了平面与平面的垂直，又考查了平面与平面的平行，与教材习题的命题角度一致，难度也基本相当．本题若选择几何法解决，则需利用线面位置关系的判定和性质进行繁杂的论证；选择向量法解决，则只需建立空间直角坐标系，用坐标运算解题即可，体现了向量方法在研究几何问题中的简洁之美．
[试题评价]　试题以正方体为载体，考查线面位置关系的证明，题目难度一般，属于对基础知识及基本方法的考查，但需要具备逻辑推理、直观想象、数学运算等基本数学素养．由此可见，平时学习时既要重视基本知识点，又要重视数学思想方法，更需要逐步提升自己的数学素养．
探源2　直线与平面所成的角的问题
[命题点分析]　直线与平面所成的角是高考的重点，主要以空间几何体为载体考查线面关系及直线与平面所成的角．求直线与平面所成的角一般用向量法，主要以解答题的形式呈现，有时也出现在选择题、填空题中，难度中等．考查直观想象、数学运算素养．
【案例2】　(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1．
(1)证明：A1C＝AC；
(2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与
平面BCC1B1所成角的正弦值．
[解]　(1)证明：过A1作A1D⊥CC1，垂足为D，
∵A1C⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A1C⊥BC，
又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，
∵A1C，AC?平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C，
∴BC⊥平面ACC1A1，
∵A1D?平面ACC1A1，∴BC⊥A1D，
又CC1，BC?平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C，
∴A1D⊥平面BCC1B1，∴A1D＝1．
由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1，
∴D为CC1的中点，又A1D⊥CC1，∴A1C＝A1C1，
又在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝A1C1，
∴A1C＝AC．
(2)连接A1B，由(1)易证A1B＝A1B1，故取BB1的中点F，连接A1F，
∵AA1与BB1的距离为2，∴A1F＝2，
又A1D＝1且A1C＝AC，
∴A1C＝A1C1＝AC＝2，AB＝A1B1＝5，BC＝3．
建立空间直角坐标系Cxyz如图所示，
?
则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，3，0)，B1(－2，3，2)，C1(－2，0，2)，∴????????＝(0，3，0)，????????1＝(－2，0，2)，????????1＝(－22，3，2)．
设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)，
则????·????????=0，?????·????????1=0，即3????=0，?????????????????2????+2????=0，取x＝1，则y＝0，z＝1，
∴平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1，0，1)．
设AB1与平面BCC1B1所成角为θ，
则sin θ＝|cos 〈n，????????1〉|＝????·????????1????????????1＝1313．
∴AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为1313．
?
[考题来源]　本题源于教材P49复习参考题1T14，两者均考查了直线与平面所成的角的问题及利用向量法解决空间几何问题的方法．难度稍高于教材练习题．
[试题评价]　试题考查了直线、平面的位置关系，直线与平面所成角的相关问题，题目难度中等，考查向量法解决线面角的正弦值的方法，做题时需要将其转化为求直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦值求解．
[命题点分析]　二面角是每年高考的必考考点，主要以空间几何体为载体考查线面关系及二面角．求二面角的大小一般用向量法求解，通过坐标运算实现问题的解决，可以有效避免较复杂的逻辑推理过程，但是向量法往往对学生的运算能力要求较高．试题主要以解答题的形式呈现，难度中等．考查直观想象、数学运算素养．
探源3　平面与平面的夹角问题
【案例3】　(2024·新高考Ⅰ卷)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝3．
(1)若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；
(2)若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值为427，
求AD．
?
[解]　(1)证明：由于PA⊥底面ABCD，AD?底面ABCD，∴PA⊥AD，
又AD⊥PB，PA∩PB＝P，PA，PB?平面PAB，
∴AD⊥平面PAB，
又AB?平面PAB，∴AD⊥AB．
∵AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC，∴BC∥AD，
∵AD?平面PBC，BC?平面PBC，∴AD∥平面PBC．
(2)由题意知DC，AD，AP两两垂直，以D为坐标原点，AD所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点D且平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，设A(a，0，0)，a>0，则CD＝4?????2，C(0，4?????2，0)，P(a，0，2)，????????＝(0，－4?????2，0)，????????＝(－a，4?????2，0)，????????＝(a，－4?????2，2)．
?
设平面CPD的法向量为n＝(x，y，z)，
则????????·????=0，????????·????=0，即?4?????2????=0，??????????????????????????4?????2????+2????=0，可取n＝(2，0，－a)．
设平面ACP的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则????·????????=0，????·????????=0，即????????1?4?????2????1+2????1=0，?????????1+4?????2????1=0，????????可取m＝(4?????2，a，0)．
?
∵二面角A-CP-D的正弦值为427，
∴其余弦值的绝对值为77，
故|cos 〈m，n〉|＝????·????????????＝24?????24?????2+????2·4+????2＝77，
又a>0，∴a＝3，即AD＝3．
?
[考题探源]　本题第(1)问源自人教A版必修第二册P159练习T3，P165习题8.6T20．教材习题和高考题第(1)问均考查了线面垂直的判定与性质，线面平行的判定定理以及线线垂直的判定．
本例第(2)问源自人教A版选择性必修第一册P49复习参考题1T12．教材习题和高考题第(2)问均考查了利用向量法求二面角的大小，难度稍高于教材习题．
[试题评价]　本题以四棱锥为载体，考查线面垂直的判定与性质、线线垂直的判定、线面平行的判定、向量法求二面角的大小，综合性较强，属于课程学习情境，难度中等偏上．主要考查直观想象、数学运算的数学学科核心素养．
谢 谢！