章末综合测评(一) 直线与方程
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线2x＋2y－3＝0的倾斜角为( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
2．与直线l：mx－m2y－1＝0垂直于点P(2，1)的直线的一般式方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．x＋y＋3＝0
C．x－y－3＝0 D．m2x＋my－1＝0
3．已知直线MN的斜率为4，其中点N，点M在直线y＝x＋1上，则点M的坐标为( )
A．(2，3) B．(4，5)
C．(2，1) D．(5，7)
4．若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是( )
A．1 B．－2
C．1或－2 D．－
5．两直线l1：3x－2y－6＝0，l2：3x－2y＋8＝0，则直线l1关于直线l2对称的直线方程为( )
A．3x－2y＋24＝0 B．3x－2y－10＝0
C．3x－2y－20＝0 D．3x－2y＋22＝0
6．△ABC中，A(1，5)，两条高BE，CF所在的直线方程分别为x－2y＝0，x＋5y＋10＝0，则BC所在直线的方程是( )
A．x＋4y＝0 B．5x－y＝28
C．3x＋5y＝0 D．5x－3y＝28
7．已知直线kx－y＋1＝0和x－ky＝0相交，且交点在第二象限，则实数k的取值范围为( )
A．(－1，0) B．(0，1]
C．(0，1) D．(1，＋∞)
8．已知点A(1，1)，B(3，5)到经过点(2，1)的直线l的距离相等，则l的方程为( )
A．2x－y－3＝0
B．x＝2
C．2x－y－3＝0或x＝2
D．以上都不对
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．若A(－4，2)，B(6，－4)，C(12，6)，D(2，12)，下面结论中正确的是( )
A．AB∥CD B．AB⊥AD
C．AC＝BD D．AC∥BD
10．已知直线x sin α＋y cos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是( )
A．直线的倾斜角是π－α
B．无论α如何变化，直线不过原点
C．无论α如何变化，直线总和一个定圆相切
D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
11．如图，直线l1，l2相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x，y分别表示点P到l1，l2的距离，则称(x，y)为点P的“距离坐标”．下列说法正确的是( )
A．距离坐标为(0，0)的点有1个
B．距离坐标为(0，1)的点有2个
C．距离坐标为(1，2)的点有4个
D．距离坐标为(x，x)的点在一条直线上
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，则顶点B到BC边上中线AD所在直线的距离为 __________．
13．过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．
14．已知点A(－3，1)，点M、N分别是x轴和直线2x＋y－5＝0上的两个动点，则AM＋MN的最小值等于________．
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知直线x－2y＋3＝0与直线3x＋y＋2＝0交于点P．
(1)求过点P且平行于直线3x＋4y－5＝0的直线l1的方程，并求出两平行直线之间的距离；(直线方程写成一般式)
(2)求过点P且垂直于直线4x＋3y＋2＝0的直线l2的方程；(直线方程写成一般式)
(3)求过点P并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l3的方程．(直线方程写成一般式)
16．(本小题满分15分)当k为何值时，直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0：
(1)相交；(2)垂直；(3)平行；(4)重合．
17．(本小题满分15分)已知直线l的方程为(m＋2)x－my－3m－8＝0，m∈R．
(1)求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；
(2)若直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程．
18．(本小题满分17分) 已知直线方程为x＋y＋3m＋4＝0，其中m∈R．
(1)当m变化时，求点Q到直线的距离的最大值；
(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程．
19．(本小题满分17分) 如图，设直线l1：x＝0，l2：3x－4y＝0．点A的坐标为．过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N(M，N的纵坐标均为正数)．
(1)求实数k的取值范围；
(2)设a＝1，求△MON面积的最小值；
(3)是否存在实数a，使得的值与k无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由．
1 / 4综合测评卷参考答案
章末综合测评(一)
1．A ［设直线2y－3＝0的倾斜角为θ，0°θ<180°，则tan θ＝k＝－，所以θ＝150°．］
2．A ［由已知可得2m－m2－1＝0，m＝1，所以kl＝1，所以所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0．故选A．］
3．A ［∵点M在直线y＝x＋1上，∴设M，则直线MN的斜率k＝＝4，解得x0＝2，∴M的坐标为(2，3)．］
4．A ［①当m＝－1时，两直线分别为x－2＝0和x－2y－4＝0，此时两直线相交，不合题意．②当m≠－1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得解得m＝1．综上可得m＝1．故选A．］
5．D ［设所求直线方程为3x－2y＋C＝0，由题意可知，所求直线到直线l2的距离等于直线l1、l2间的距离，∴，∵C≠－6，解得C＝22．因此，所求直线的方程为3x－2y＋22＝0．］
6．C ［因为AC，AB边上的高BE，CF所在的直线方程分别为x－2y＝0，x＋5y＋10＝0，所以它们的斜率分别为，故直线AB，AC的斜率分别为5，－2，所以AB和AC的方程分别为y－5＝5(x－1)，y－5＝－2(x－1)，即5x－y＝0，2x＋y－7＝0，联立方程解得x＝0，y＝0，所以B(0，0)，联立方程解得x＝5，y＝－3，所以C(5，－3)，所以BC所在直线的方程为y＝－x，即3x＋5y＝0．］
7．A ［联立方程因为交点在第二象限，所以解得－1
8．C ［当A，B都在l的同侧时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，此时，AB∥l，所以k＝kAB＝＝2，l的方程为2x－y－3＝0．当A，B在l的两侧时，A，B到x＝2的距离相等，因此，l的方程为x＝2．故选C．］
9．ABC ［kAB＝．且C不在直线AB上，∴AB∥CD，故A正确；又因为kAD＝，∴kAB·kAD＝－1，∴AB⊥AD，故B正确；∵AC＝，BD＝，
∴AC＝BD，故C正确；又kAC＝＝－4．∴kAC·kBD＝－1，∴AC⊥BD，故D不正确．］
10．BCD ［根据直线倾斜角的范围为［0，π)，而π－α∈R，所以A不正确；当x＝y＝0时，xsin α＋ycos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；由点到直线的距离公式得原点到直线的距离为1，所以直线总和单位圆相切，C正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝1，所以D正确．故选BCD．］
11．ABC ［根据题意，依次分析选项：
对于A，若距离坐标为(0，0)，即P到两条直线的距离都为0，P为两直线的交点，即距离坐标为(0，0)的点只有1个，A正确；
对于B，若距离坐标为(0，1)，即P到直线l1的距离为0，到直线l2的距离为1，P在直线l1上，到直线l2的距离为1，符合条件的点有2个，B正确；
对于C，若距离坐标为(1，2)，即P到直线l1的距离为1，到直线l2的距离为2，有4个符合条件的点，即四个交点为与直线l1相距为1的两条平行线和与直线l2相距为2的两条平行线的交点，C正确；
对于D，若距离坐标为(x，x)，即P到两条直线的距离相等，则距离坐标为(x，x)的点在两条相互垂直的直线上，D错误．］
12． ［∵△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，∴线段BC的中点为D(0，2)，故直线AD的方程为＝1，即2x－3y＋6＝0．则顶点B到BC边上中线AD所在直线的距离为d＝．］
13．x＋4y－4＝0 ［设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0．］
14． ［作点A(－3，1)关于x轴的对称点A'(－3，－1)，则AM＋MN＝A'M＋MNA'N，
最小值即为A'(－3，－1)到直线2x＋y－5＝0的距离，即d＝．］
15．解：由得P(－1，1)．
(1)设直线l1的方程为3x＋4y＋λ＝0，代入点P坐标得λ＝－1，所以直线l1的方程为3x＋4y－1＝0．所以两平行直线间的距离d＝．
(2)设直线l2的方程为3x－4y＋μ＝0，代入点P坐标得μ＝7．所以直线l2的方程为3x－4y＋7＝0．
(3)当直线l3过坐标原点时，直线l3的方程为y＝－x，即x＋y＝0；当直线l3不过坐标原点时，设直线l3的方程为＝1，代入点P坐标得a＝－2，所以直线l3的方程为＝1，即x－y＋2＝0．综上所述，直线l3的方程为x＋y＝0或x－y＋2＝0．
16．解：(1)若直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0相交，则有3(2k－3)＋k(k＋2)≠0，解得k≠1且k≠－9．
(2)若直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0垂直，则有3k－(k＋2)(2k－3)＝0，解得k＝．
(3)若直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0平行，则有3(2k－3)＋k(k＋2)＝0，解得k＝1或k＝－9；当k＝1时，两条直线方程均为x－y＋2＝0，重合，故舍去；当k＝－9，两条直线分别为3x＋7y－4＝0和9x＋21y－2＝0，平行，符合题意，所以k＝－9．
(4)由(3)可知，k＝1，直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0重合．
17．解：(1)证明：直线l的方程为(m＋2)x－my－3m－8＝0，m∈R，即m(x－y－3)＋(2x－8)＝0，令故直线l恒过定点P(4，1)．
(2)直线l的方程为(m＋2)x－my－3m－8＝0，当直线l不经过原点且在x轴，y轴上的截距相等时，即令y＝0，可得x＝，再令x＝0，可得y＝－，由，可得m＝－1，故直线l的方程为x＋y－5＝0．当直线l经过原点时，－3m－8＝0，得m＝－，故直线l的方程为x－4y＝0．综上，所求直线l的方程为x＋y－5＝0或x－4y＝0．
18．解：(1)直线方程为(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0，可化为(2x＋y＋4)＋m(－x＋2y＋3)＝0对任意m都成立，所以所以直线恒过定点(－1，－2)．设定点为P(－1，－2)，当m变化时，PQ垂直直线时，点Q(3，4)到直线的距离最大，可知点Q与定点P(－1，－2)的连线的距离就是所求最大值，即．
(2)由于直线经过定点P(－1，－2)，直线的斜率k存在且k≠0，因此可设直线方程为y＋2＝k(x＋1)，可得与x轴、y轴的负半轴交于A，B(0，k－2)两点，所以<0，k－2<0，解得k<0．所以S△AOB＝2＋2＝4，当且仅当k＝－2时取等号，面积的最小值为4，此时直线的方程为y＋2＝－2(x＋1)，即2x＋y＋4＝0．
19．解：(1)直线l的方程为y－a＝k(x－1)，令x＝0得，y＝a－k，由y＝a－k>0，得k，由得(4k－3＝0时，方程组无解，不合题意)，由y＝，综上，k<．
(2)由(1)得M(0，1－k)，N，设直线l2的倾斜角为θ，则tan θ＝，∴sin∠MON＝sin，
S△OMN＝，令t＝3－4k，则t>0，k＝，∴S△OMN＝．当且仅当t＝，即t＝1，k＝时等号成立，∴S△OMN的最小值是．
(3)假设存在满足题意的a，由(1)知，，
∴，此式与k值无关，则a＝2．
所以存在a＝2，使的值与k无关．
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