章末综合测评(二) 圆与方程
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．圆心在x轴上，且过点(－1，－3)的圆与y轴相切，则该圆的方程是( )
A．x2＋y2＋10y＝0
B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0
D．x2＋y2－10x＝0
2．圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为( )
A． B．2
C．3 D．3
3．若过点(1，2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则实数k的取值范围是( )
A．k>2 B．－3C．k<－3或k>2 D．以上都不对
4．已知点P和圆C：x2＋y2＝4，则过点P且与圆C相切的直线方程是( )
A．x－y＝4 B．x＋y＝4
C．x－y＝4 D．x＋y＝4
5．已知圆O：x2＋y2＝1，直线l：x＋y＋2＝0，点P为l上一动点，过点P作圆O的切线PA，PB(切点为A，B)，当四边形PAOB的面积最小时，直线AB的方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x－y＋＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x＋y－＝0
6．若直线l：x－y－＝0与圆C：x2＋y2－4x＋3＝0相交于A，B两点，O是坐标原点，则△OAB的面积是( )
A． B．
C． D．
7．若方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于( )
A．45° B．135°
C．60° D．120°
8．若P是直线l：3x＋4y－9＝0上一动点，过P作圆C：x2＋y2＋4x＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为( )
A． B．2
C． D．2
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．过点P(3，4)作圆C：x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是( )
A．|AB|＝
B．AB所在直线的方程为3x＋4y－4＝0
C．四边形PACB的外接圆方程为x2＋y2－3x－4y＝0
D．△PAB的面积为
10．已知点D，直线l：2kx－2y－k＋2＝0，圆C：x2＋y2－2x＝1，过点P(0，－2)分别作圆C的两条切线PA，PB(A，B为切点)，H在△ABC的外接圆上．则( )
A．直线AB的方程是x＋2y－1＝0
B．l被圆C截得的最短弦的长为
C．四边形PACB的面积为
D．DH的取值范围为
11．已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为________．
13．已知点Q是直线l：x＋y－4＝0上的动点，过点Q作圆O：x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点 ________．
14．已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，则实数m的值为________．
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)在①圆经过C，②圆心在直线x＋y－2＝0上，③圆截y轴所得弦长为8且圆心E的坐标为整数；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解．
已知圆E经过点A，B且________；
(1)求圆E的方程；
(2)已知直线l经过点，直线l与圆E相交所得的弦长为8，求直线l的方程．
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
16．(本小题满分15分) 已知直线l：x＋y＋2＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)相切，O为原点，A(－2，0)．
(1)若过点A的直线l1与圆C相交所得弦长等于4，求直线l1的方程；
(2)P为C上任意一点，求的值．
17．(本小题满分15分)已知圆C：x2＋y2－4x－2y＋m＝0与直线l：3x－4y－7＝0相交于M，N两点且|MN|＝2．
(1)求m的值；
(2)过点P作圆C的切线，切点为Q，再过P作圆C′：(x＋2)2＋(y＋2)2＝1的切线，切点为R，若|PQ|＝|PR|，求|OP|的最小值(其中O为坐标原点)．
18．(本小题满分17分)已知直线l：(m＋2)x＋(1－2m)y＋4m－2＝0与圆C：x2－2x＋y2＝0交于M，N两点．
(1)求出直线l恒过定点的坐标；
(2)求直线l的斜率的取值范围；
(3)若O为坐标原点，直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，试问k1＋k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19．(本小题满分17分)
如图，已知圆C1：＋＝2，圆C2：＋＝5，过原点O的直线l与圆C1，C2的交点依次是P，O，Q．
(1)若＝2，求直线l的方程；
(2)若线段的中点为M，求点M的轨迹方程．章末综合测评(二)
1．C ［圆心在x轴上，且过点(－1，－3)的圆与y轴相切，可设圆的方程为(x－a)2＋y2＝a2，再把点(－1，－3)代入，解得a＝－5，故该圆的方程为(x＋5)2＋y2＝25，即x2＋y2＋10x＝0，故选C．］
2．D ［将圆的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，所以该圆的圆心(1，－3)到直线x－y＋2＝0的距离d＝．］
3．C ［由题意知点在圆外，故12＋22＋k＋2×2＋k2－15>0，解得k<－3或k>2．］
4．B ［由题意知点Px＋y＝4．］
5．C ［∵圆x2＋y2＝1的圆心为C(0，0)，半径r＝1，当点P与圆心的距离最小时，切线长PA，PB最小，此时四边形PAOB的面积最小．∴PO⊥直线l，
则PO的方程为x－y＝0，联立解得x＝y＝－1，∴P(－1，－1)，
∴以OP为直径的圆的方程为，即x2＋y2＋x＋y＝0，两圆方程相减可得x＋y＋1＝0．］
6．A ［由圆C：x2＋y2－4x＋3＝0，得(x－2)2＋y2＝1，则圆心C(2，0)，半径r＝1，圆心C到直线l的距离d＝，∴|AB|＝2＝1，又原点O到直线l的距离h＝，∴S△AOB＝．］
7．B ［将圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化成标准方程，得，∴r2＝1－，当圆取得最大面积时，k＝0，半径r＝1，因此直线y＝(k－1)x＋2，即y＝－x＋2．得直线的倾斜角α满足tan α＝－1，∴α＝135°．］
8．B ［圆C：(x＋2)2＋y2＝4，圆心为C(－2，0)半径|AC|＝r＝2，画出图象，如图所示．
因为直线与圆相切，所以∠PAC＝∠PBC＝90°，且△PAC≌△PBC，所以四边形PACB面积S＝2S△PAC＝2×|AC|·|PA|＝2|PA|，又|PA|＝，所以当PC最小时，PA最小，四边形PACB的面积最小．由图象可得，PC最小值即为点C到直线3x＋4y－9＝0的距离，所以|PC|min＝，所以四边形PACB面积的最小值S＝2|PA|＝2，故选B．］
9．BCD ［由题可得C(0，0)，半径r＝2，
对A：|CP|＝＝5，在Rt△CAP中，cos∠ACP＝，∴sin∠ACP＝，∵AB⊥CP，∴sin∠ACP＝，∴|AB|＝2|CA|sin∠ACP＝2×2×，故A错误；对B：直线AB可看作已知圆与以AP为半径、P为圆心的圆的交线，x2＋y2＝4的圆心(0，0)，半径为2．|AP|＝，以AP为半径、P为圆心的圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝21，即x2＋y2－6x－8y＋4＝0，将两圆的方程相减，得6x＋8y＝8即3x＋4y－4＝0．∴直线AB的方程是3x＋4y－4＝0，故B正确；对C：∵PA⊥AC，PB⊥BC，所以四边形PACB的外接圆是以PC为直径的圆，PC的中点坐标，PC＝5，所以四边形PACB的外接圆为，即x2＋y2－3x－4y＝0，故C正确；对D：点P到AB的距离d＝，故D正确．］
10．BD ［对于A，圆C的圆心坐标为C(1，0)，P(0，－2)，则PC的中点为T，|PC|＝，又圆C：x2＋y2－2x＝1，两式作差，得直线AB的方程为x＋2y＋1＝0，故A错误；
对于B，令直线l与圆C相交的两点为M，N，直线l：2kx－2y－k＋2＝0可化为k(2x－1)－2y＋2＝0，联立，且定点R在圆C内，当且仅当CR⊥MN时，弦长MN最短，又|CR|＝，∴|MN|的最小值为2，故B正确；对于C，四边形PACB的对角线AB，PC互相垂直，则四边形PACB的面积S＝|AB||PC|，∵|AB|＝2，∴S＝，故C错误；对于D，由题意知，△ABC的外接圆恰好是经过P，A，C，B四点的圆，∵PC的中点T，最大值是|DT|＋r＝，∴DH的取值范围为，故D正确．］
11．ACD ［设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为
＝10，故A正确．易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4＝1，故B不正确．
过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，
则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝，故CD都正确．］
12．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 ［∵圆C的圆心在直线x＋y＝0上，∴设圆C的圆心为(a，－a)，又∵圆C与直线x－y＝0相切，∴半径r＝．又圆C在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝，∴d2＋＝2a2，解得a＝1，∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2．］
13．(1，1) ［根据题意，设Q(4－m，m)，又由QA，QB是圆O的切线，得OA⊥QA，OB⊥QB，则AB是圆O与以QO为直径的两圆的公共弦，可得以QO为直径的圆的方程为，
即x2－(4－m)x＋y2－my＝0，①
又圆O的方程为x2＋y2＝4，②
②－①，得(4－m)x＋my－4＝0，即m(y－x)＋4x－4＝0，则该直线必过点(1，1)．］
14．3 ［∵x2＋y2＋x－6y＋m＝0，∴
，过圆心C且与直线x＋2y－3＝0垂直的直线方程为2x－y＋4＝0，由 得PQ中点M坐标为(－1，2)，因为OP⊥OQ，所以OM2＝，∴1＋4＝，∴m＝3．］
15．解：选条件①，(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
依题意有
解得D＝－6，E＝2，F＝－15，所以圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－15＝0，即圆E的标准方程为＝25．
(2)设圆心到直线的距离为d，则弦长L＝2＝4 d＝3，
当直线的斜率不存在时，d＝5≠3，所以直线的斜率存在，设其方程为y－2＝k，即kx－y＋2k＋2＝0，d＝＝3，解得k＝0，k＝－，所以所求直线的方程为y＝2或15x＋8y＋14＝0．选条件②，
(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为圆E经过点A，且圆心在直线x＋y－2＝0上，依题意有解得D＝－6，E＝2，F＝－15，所以圆E的方程为＝25．
(2)设圆心到直线的距离为d，则弦长L＝2＝4 d＝3，
当直线的斜率不存在时，d＝5≠3，所以直线的斜率存在，设其方程为y－2＝k，即kx－y＋2k＋2＝0，d＝＝3，解得k＝0，k＝－，所以所求直线的方程为y＝2或15x＋8y＋14＝0．
选条件③，
(1)设圆E的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由圆E经过点A，
故又因为圆截y轴所得弦长为8，故方程y2＋Ey＋F＝0的两个实数根y1，y2的差的绝对值为8．所以＝8，即E2－4F＝64，解方程组得D＝－6，E＝2，F＝－15或D＝－，由于圆心E的坐标为整数，故圆E的方程为＝25．
(2)设圆心到直线的距离为d，则弦长L＝2＝4 d＝3，
当直线的斜率不存在时，d＝5≠3，所以直线的斜率存在，设其方程为y－2＝k，即kx－y＋2k＋2＝0，d＝＝3，解得k＝0，k＝－，所以所求直线的方程为y＝2或15x＋8y＋14＝0．
16．解：(1)由题知圆心C(2，0)，因为l与圆C相切，所以r＝，
所以圆C：(x－2)2＋y2＝8．设圆心C到l1的距离为d，由题得d＝＝2，
设l1：y＝k(x＋2)，所以d＝＝2，解得k＝±，所以l1：y＝±(x＋2)．
(2)设P，|PA|＝，所以，因为＝8，所以＝．
17．解：(1)化圆C为(x－2)2＋(y－1)2＝5－m>0，圆心到直线l的距离d＝＝1，由题意，|MN|＝2，解得m＝1．
(2)设P(x，y)，由(1)得C：(x－2)2＋(y－1)2＝4，切线|PQ|＝＝，同理，切线|PR|＝＝，
由＝，化简得到4x＋3y＋3＝0．
可知直线4x＋3y＋3＝0与两圆都无公共点，故P为直线上任意点都符合题意．因此|OP|最小值即为原点到直线4x＋3y＋3＝0的距离，则|OP|min＝d＝．18．解：(1)由直线l：(m＋2)x＋(1－2m)y＋4m－2＝0，得m(x－2y＋4)＋(2x＋y－2)＝0，联立∴直线l恒过定点(0，2)．
(2)由圆C：x2－2x＋y2＝0，知圆心C(1，0)，半径r＝1，当直线l和圆C相切时，
＝1，解得m＝，当m＝时，直线l方程x＝0，当m＝－时，直线l方程3x＋4y－8＝0，∴直线l与圆C相交时，直线l的斜率取值范围为．
(3)由(2)知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，联立得(1＋k2)x2＋(2kb－2)x＋b2＝0，x1＋x2＝－，k1＋k2＝＝＝＝2k＋b·＝2k＋b·．由(1)可知，b＝2，则k1＋k2＝1，∴k1＋k2是定值，定值为1．
19．解：(1)设直线l的方程为y＝kx，C1，C2到直线l的距离为d1，d2．由条件2＝3，所以4×＝3，整理得k2－4k＝0，解得k＝0或k＝4，所以直线l的方程为y＝0或y＝4x．
(2)设l：y＝kx．则由 消去y，得x＝0，解得x1＝0，x2＝－．其中k≠－2，所以Q，由消去y，得x＝0，解得x3＝0，x4＝，其中k≠1，所以P，设M
将k＝代入①式消去k，得x2＋y2＋x＋2y＝0，又k≠1且k≠－2，将k＝1，k＝－2代入①②求得，故点M的轨迹方程为x2＋y2＋x＋2y＝0(挖去点)．
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