章末综合测评(三)
1．A ［由已知得e1＝．故选A．］
2．B ［抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，到双曲线x2－，故选B．］
3．D ［∵．］
4．D ［法一：由离心率e＝
．故选D．
法二：离心率e＝．故选D．］
5．B ［椭圆9x2＋4y2＝36可化为
＝1．］
6．B ［因为双曲线左焦点的坐标为F(－2，0)，所以c＝2．所以c2＝a2＋b2＝a2＋1，即4＝a2＋1，解得a＝．设P(x，y)，则＝x(x＋2)＋y2，因为点P在双曲线－y2＝1上，所以－1．又因为点P在双曲线的右支上，所以x．所以当x＝，即，＋∞)．］
7．D ［根据对称性，不妨设A在第一象限，A(x，y)，∴∴xy＝＝1，故选D．］
8．A ［设椭圆的方程为＝1(a>b>0)．由已知，得A(a，0)，B(0，b)，F(－c，0)，则＝(a，－b)．∵离心率e＝，∴c＝＝a，∴＝b2－ac＝0，∴∠ABF＝90°．］
9．ABC ［设A(x0，y0)，且＝0．
因为·(，将A点坐标代入椭圆，得＝1，所以(－2x02)．所以(可以取ABC．］
10．ABD ［A选项，抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，☉A的圆心(0，4)到直线x＝－1的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l和☉A相切，A选项正确；B选项，P，A，B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标yP＝4，由＝4xP，得到xP＝4，故P(4，4)，此时切线长|PQ|＝，B选项正确；
C选项，当|PB|＝2时，xP＝1，此时＝4xP＝4，故P(1，2)或P(1，－2)，当P(1，2)时，A(0，4)，B(－1，2)，kPA＝＝2，不满足kPAkAB＝－1；当P(1，－2)时，A(0，4)，B(－1，－2)，kPA＝＝6，
不满足kPAkAB＝－1；于是PA⊥AB不成立，C选项错误；
D选项，法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，|PB|＝|PF|，这里F(1，0)，于是|PA|＝|PB|时，P点的存在性问题转化成|PA|＝|PF|时P点的存在性问题，
A(0，4)，F(1，0)，AF中点为，于是AF的中垂线方程为：y＝，与抛物线y2＝4x联立可得y2－16y＋30＝0，Δ＝162－4×30＝136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P点，使得|PA|＝|PF|，D选项正确．
法二：设点直接求解设P，由PB⊥l可得B(－1，t)，又A(0，4)，|PA|＝|PB|，根据两点间的距离公式，得＋1，整理得t2－16t＋30＝0，
Δ＝162－4×30＝136>0，则关于t的方程有两个解，即存在两个这样的P点，D选项正确．故选ABD．
］
11．ACD ［对于A选项：椭圆C1：，0)，由题意可知C2：，0)，所以a＝，c＝2，b＝1，所以双曲线的方程C2：，故A正确；对于B选项：双曲线的渐近线方程为y＝±y＝0，因此，C1的右焦点(，故B错误；对于C选项：由椭圆的定义可知，点A到C2的两顶点的距离之和等于4，故C正确；对于D选项：联立所以，四边形ABCD的面积S＝4|xy|＝4×，所以四边形ABCD的面积为，故D正确．］
12．6 ［法一：抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)．∵N点在y轴上，设N(0，yN)．
又∵M为FN的中点，∴M．又∵M点在抛物线y2＝8x上，∴＝32，∴|FN|＝＝6．
法二：抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线l：x＝－2．如图，设l与x轴的交点为A，分别过N，M作直线l的垂线，垂足分别为C，B．由M为FN的中点，易知线段BM为梯形AFNC的中位线．
∵|CN|＝2，|AF|＝4，∴|MB|＝3．又由抛物线的定义得|MB|＝|MF|，且|MN|＝|MF|，∴|NF|＝|NM|＋|MF|＝2|MF|＝2|MB|＝6．］
13．＝1，得y＝±＝5，又|AF1|－|AF2|＝2a，得|AF1|＝|AF2|＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20，故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝．］
14．90 ［因为圆C1：(x＋3)2＋y2＝4和圆C2：(x－3)2＋y2＝1，则C1(－3，0)，半径R＝2，C2(3，0)，半径r＝1，由椭圆的方程可知a＝6，b＝3，则c＝＝3，所以C1(－3，0)，C2(3，0)为椭圆的两个焦点，
因为PM为圆C1的切线，PN为圆C2的切线，故PM⊥C1M，PN⊥C2N，则|PM|2＝|PC1|2－|C1M|2＝|PC1|2－4，|PN|2＝|PC2|2－|NC2|2＝|PC2|2－1，故|PM|2＋2|PN|2＝|PC1|2－4＋2(|PC2|2－1)＝|PC1|2＋2|PC2|2－6，根据椭圆的定义可得，|PC1|＋|PC2|＝2a＝12，设|PC2|＝t，则a－cta＋c，即3t9，所以|PM|2＋2|PN|2＝(12－t)2＋2t2－6＝3t2－24t＋138＝3(t－4)2＋90，故当t＝4时，|PM|2＋2|PN|2取得最小值90．故答案为：90．］
15．解：依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，∵点P．∴p＝2，∴所求抛物线的方程为y2＝4x．∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，∴c＝1，即a2＋b2＝1，又点P在双曲线上，∴＝1，解方程组得(舍去)．∴所求双曲线的方程为4x2－y2＝1．
16．证明：(1)依题意可设AB的方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8，直线AO的方程为y＝x，BD的方程为x＝x2，则交点D的坐标为．又x1x2＝－8，＝4y1，则有＝－2，即D点在定直线y＝－2上(x≠0)．
(2)依题意，切线l的斜率存在且不等于0．设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y，得x2＝4(ax＋b)，即x2－4ax－4b＝0，由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，化简整理，得b＝－a2，故切线的方程为y＝ax－a2．分别令y＝2，y＝－2，得N1，则|MN2|2－|MN1|2＝＝8，即|MN2|2－|MN1|2为定值8．
17．解：(1)设双曲线C的方程为＝1(a>0，b>0)，c为双曲线C的半焦距，
由题意可得所以双曲线C的方程为＝1．
(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，则x1＝my1－4，x2＝my2－4．联立得(4m2－1)y2－32my＋48＝0．因为直线MN与双曲线C的左支交于M，N两点，所以4m2－1≠0，且Δ>0．由根与系数的关系得y1y2．因为A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，所以A1(－2，0)，A2(2，0)．直线MA1的方程为，所以．
因为＝＝＝－3，
所以＝－3，解得x＝－1，所以点P在定直线x＝－1上．
18．解：(1)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1，∵A在椭圆C上，∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝，b2＝a2－c2＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2)假设这样的直线存在，设直线l的方程为y＝2x＋t，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，由消去x，得9y2－2ty＋t2－8＝0，∴y1＋y2＝，且Δ＝4t2－36(t2－8)>0，故y0＝，且－3(2)设直线l的方程为x＝ty＋，选择①，联立方程化简整理得4(t2＋9)y2＋12ty－27＝0，假设C(x1，y1)，D(x2，y2)，得(y1＋y2)，直线AC的方程：y＝(x－3)，
联立方程两式相除，得＝
＝＝＝3，即＝3，解得x＝6，所以直线AC和BD交点的轨迹方程是直线x＝6．选择②，联立方程化简整理，得4(t2＋9)y2＋12ty－27＝0，假设C(x1，y1)，D(x2，y2)，得(y1＋y2)，于是＝
＝＝，故存在实数λ＝，使得k1＝λk2恒成立．
选择③：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，C'(x1，－y1)，联立方程化简整理，得4(t2＋9)y2＋12ty－27＝0，得直线C'D与x轴交于点N，说明C'，D，N三点共线，于是kC'N＝kDN，假设N(m，0)，即，亦即－，则－y1(x2－m)＝y2(x1－m)，所以y1(x2－m)＋y2(x1－m)＝x1y2＋x2y1－m(y1＋y2)＝＝0，解得m＝6，所以直线l恒过定点(6，0)．
7 / 7章末综合测评(三) 圆锥曲线与方程
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝( )
A． B． C． D．
2．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )
A． B．
C．1 D．
3．已知点F，A分别为双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足·＝0，则双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．
4．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4，0)到C的渐近线的距离为( )
A． B．2
C． D．2
5．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为 ( )
A．＝1 B．x2＋＝1
C．＋y2＝1 D．＝1
6．若点O和点F(－2，0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为( )
A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C． D．
7．已知双曲线＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
8．我们把离心率为黄金分割系数的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆”C的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的顶点，则∠ABF＝( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．已知点M(1，0)，A，B是椭圆＋y2＝1上的动点，当·取下列哪些值时，可以使·＝0( )
A．3 B．6
C．9 D．12
10．抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B．则( )
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
11．已知椭圆C1：＋y2＝1过双曲线C2：＝1(a，b＞0)的焦点，C1的焦点恰为C2的顶点，C1与C2的交点按逆时针方向分别为A，B，C，D，O为坐标原点，则( )
A．C2的离心率为
B．C1的右焦点到C2的一条渐近线的距离为
C．点A到C2的两顶点的距离之和等于4
D．四边形ABCD的面积为
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|＝________．
13．设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________．
14．过椭圆＝1上一点P分别向圆C1：(x＋3)2＋y2＝4和圆C2：(x－3)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2＋2|PN|2的最小值为________．
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程．
16．(本小题满分15分)如图所示，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0，2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．
(1)证明：动点D在定直线上；
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2．证明：－|MN1|2为定值，并求此定值．
17．(本小题满分15分)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上．
18．(本小题满分17分)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，点A在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
19．(本小题满分17分)已知椭圆E的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)(c＞0)．点M在E上，MF2⊥F1F2，△MF1F2的周长为6＋4，面积为c．
(1)求E的方程；
(2)设E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E交于C，D两点，记直线AC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2，________．(从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答)．
①求直线AC和BD交点的轨迹方程；
②是否存在实常数λ，使得k1＝λk2恒成立；
③过点C作关于x轴的对称点C′，连接C′D得到直线l1，试探究：直线l1是否恒过定点．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
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