章末综合测评(五) 导数及其应用
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知函数f(x)＝x(2 023＋ln x)，若f′(x0)＝2 024，则x0＝( )
A．ln 2 B．1
C．e D．e2
2．曲线y＝(x3＋x2)ex在x＝1处的切线方程为( )
A．y＝7ex－5e B．y＝7ex＋9e
C．y＝3ex＋5e D．y＝3ex－5e
3．函数f(x)＝－2ln x－x－的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．(－3，1)
C．(0，1) D．(1，＋∞)
4．设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )
A． B．
C． D．
5．若函数f(x)＝x2－2x＋a ln x有两个不同的极值，则实数a的取值范围是( )
A．a＞1 B．－1＜a＜0
C．a＜1 D．0＜a＜1
6．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20，要使其体积最大，则其高为( )
A． B．10
C．20 D．
7．已知函数f(x)＝x2－9ln x＋3x在其定义域内的子区间(m－1，m＋1)上不单调，则实数m的取值范围为( )
A． B．
C． D．
8．设函数f(x)的定义域是R，其导函数是f′(x)，且f′(x)0，则满足不等式f(ln t)＋ln t－1f(1)的实数t的解集是( )
A． B．[1，＋∞)
C．[e，＋∞) D．(0，e]
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．已知函数f(x)＝x ln (x＋1)，则( )
A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增
B．f(x)有极小值
C．f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为＋ln 2
D．f(x)为奇函数
10．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是( )
A．y＝cos x B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝x2
11．已知0＜a＜b＜1，e为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是( )
A．aea＜beb B．aeb＜bea
C．a ln a＞b ln b D．ab＜ba
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________．
13．已知函数f(x)＝x－ln (x＋a)，若a＝2，则f′(0)＝________；又若f(x)的最小值为0，其中a＞0，则a的值为________．
14．设定义域为R的函数f(x)满足f′(x)＞f(x)，则不等式ex-1f(x)＜f(2x－1)的解集为________．
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ln (2x)－ax2．
(1)若f(x)在(1，＋∞)内不单调，求a的取值范围；
(2)若a＝2，求f(x)在上的值域．
16．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝ex－ax－a3．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
17．(本小题满分15分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r m，高为h m，体积为V m3．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
18．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝－ax，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线经过点(2，－1)．
(1)求实数a的值；
(2)设b＞1，求f(x)在区间上的最大值和最小值．
19．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝ln (1＋x)．
(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．
模块综合测评
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知等比数列的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝( )
A．14 B．12
C．6 D．3
2．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是( )
A．R B．(－∞，1)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
3．若椭圆＝1(a＞b＞0)的离心率为，则双曲线＝1的离心率为( )
A． B．
C． D．
4．设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax．若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为( )
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
5．函数f(x)＝x3＋2x2＋3x在[－2，2]上的最小值为( )
A． B．4
C．－ D．－
6．以F(p＞0)为焦点的抛物线C的准线与双曲线x2－y2＝2相交于M，N两点，若△MNF为正三角形，则抛物线C的标准方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．x2＝4y D．x2＝2y
7．若函数f(x)＝ex(sin x＋a)在区间上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．[，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－，＋∞)
8．已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．2
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，则下列说法正确的是( )
A．a5＝－16
B．S5＝－63
C．数列是等比数列
D．数列是等比数列
10．已知函数f(x)＝x3－x＋1，则( )
A．f(x)有两个极值点
B．f(x)有三个零点
C．点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心
D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
11．下列说法正确的是( )
A．椭圆＝1上任意一点(非左、右顶点)与左、右顶点连线的斜率乘积为－
B．过双曲线＝1焦点的弦中垂直于实轴的弦长为
C．抛物线y2＝2px上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若弦AB经过抛物线焦点，则x1x2＝
D．若直线与圆锥曲线有一个公共点，则该直线和圆锥曲线相切
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为________．
13．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝2SnSn＋1，则a2＝________，Sn＝________．
14．设a∈(0，1)，若函数f(x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)求经过两点A(－1，4)，B(3，2)且圆心在y轴上的圆的方程．
16．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝ln x＋x2．
(1)求h(x)＝f(x)－3x的极值；
(2)若函数g(x)＝f(x)－ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围．
17．(本小题满分15分)已知在正项数列{an}中，a1＝1，点(，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上，数列{bn}的前n项和Sn＝2－bn．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝，求{cn}的前n项和Tn．
18．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝a(x－1)－ln x＋1．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a2时，证明：当x>1时，f(x)
19．(本小题满分17分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2，1)．
(1)求C的方程；
(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
1 / 6章末综合测评(五)
1．B ［f'(x)＝2 023＋ln x＋1＝2 024＋ln x，则f'(1)＝2 024，则x0＝1．］
2．A ［y'＝(3x2＋2x)ex＋(x3＋x2)ex，所以切线方程的斜率k＝7e，又当x＝1时，y＝2e，所以所求切线方程为y－2e＝7e(x－1)，即y＝7ex－5e，故选A．］
3．C ［依题意，函数的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝－，故当00，所以函数的单调递增区间为(0，1)，故选C．］
4．A ［f'(x)＝，则f'(0)＝＝3，即该切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1，
令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝－，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S＝．故选A．］
5．D ［f(x)的定义域是(0，＋∞)，f'(x)＝x－2＋，若函数f(x)有两个不同的极值，则g(x)＝x2－2x＋a在(0，＋∞)上有2个不同的实数根，故解得06．A ［设圆锥的高为x(00；当x∈时，V'<0，∴当x＝．］
7．D ［因为f(x)＝x2－9ln x＋3x，所以f(x)的定义域是(0，＋∞)，f'(x)＝2x－，令f'(x)＝0，即2x2＋3x－9＝0，解得x＝或x＝－3(舍)，所以当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减，当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
而f(x)在区间(m－1，m＋1)上不单调，所以m－1<8．D ［设g(x)＝f(x)＋x，∵f'(x)0，∴g'(x)＝f'(x)＋1>0，则g(x)为R上的增函数，由f(ln t)＋ln t－1f(1)，得f(ln t)＋ln tf(1)＋1，即g(ln t)g(1)，则ln t1，
∴09．ABC ［函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f'(x)＝ln(x＋1)＋>0，∴f'(x)在(－1，＋∞)上单调递增，且f'(0)＝0，∴x∈(－1，0)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，x∈(0，＋∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，f(x)有极小值f(0)，故A，B正确；∵f'(1)＝＋ln 2，故C正确；∵函数f(x)的定义域不关于原点对称，故D错误．］
10．AD ［由题意y＝f(x)具有T性质，则存在x1，x2，使得f'(x1)f'(x2)＝－1．对于选项A，因为f'(x)＝－sin x，存在x1＝，使得f'(x1)f'(x2)＝－1；
对于选项B，因为f'(x)＝>0，不存在x1，x2，使得f'(x1)f'(x2)＝－1；
对于选项C，因为f'(x)＝ex>0，不存在x1，x2，使得f'(x1)f'(x2)＝－1；
对于选项D，因为f'(x)＝2x，存在x1＝1，x2＝－，使得f'(x1)f'(x2)＝4x1x2＝－1．故选AD．］
11．ABD ［因为0对于A，设 f(x)＝xex，00，f(x)在 (0，1)上单调递增，
故 f(a)对于B，设 h(x)＝<0在 (0，1)上恒成立，故函数h(x)在 (0，1)上单调递减，故 h(a)>h(b)，即，故bea>aeb，故B正确；
对于C，设 t(x)＝xln x(00，故 t(x)在上单调递增，t(a)与t(b)的大小关系不确定，故C错误；
对于D，设g(x)＝(00，函数g(x)在 (0，1)上单调递增，故g(a)12．y＝5x＋2 ［y'＝＝5，所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即y＝5x＋2．］
13． 1 ［f(x)的定义域为(－a，＋∞)，f'(x)＝1－．又由f'(x)＝0，解得x＝1－a>－a．当－a1－a时，f'(x)>0，f(x)在(1－a，＋∞)上单调递增．因此，f(x)在x＝1－a处取得最小值，由题意知f(1－a)＝1－a＝0，故a＝1．］
14．(1，＋∞) ［设F(x)＝，∵f'(x)>f(x)，∴F'(x)>0，即函数F(x)在定义域上单调递增．∵ex-1f(x)1，∴不等式ex-1f(x)15．解：(1)f'(x)＝，因为f(x)在(1，＋∞)内不单调，所以关于x的方程1－2ax2＝0在(1，＋∞)内有根，所以．
(2)因为a＝2，所以f'(x)＝．令f'(x)>0，得；
令f'(x)<0得．所以f(x)在．因为f>0，所以f(x)在．
16．解：(1)当a＝1时，则f(x)＝ex－x－1，f'(x)＝ex－1，可得f(1)＝e－2，f'(1)＝e－1，即切点坐标为(1，e－2)，切线斜率k＝e－1，所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0．
(2)法一：因为f(x)的定义域为R，且f'(x)＝ex－a，若a0，则f'(x)0对任意x∈R恒成立，可知f(x)在R上单调递增，无极值，不合题意；若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a；令f'(x)<0，解得x0，构建g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，则g'(a)＝2a＋>0，可知g(a)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0，不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1．所以a的取值范围为(1，＋∞)．
法二：因为f(x)的定义域为R，且f'(x)＝ex－a，若f(x)有极小值，则f'(x)＝ex－a有零点，令f'(x)＝ex－a＝0，可得ex＝a，可知y＝ex与y＝a有交点，则a>0，
若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a；令f'(x)<0，解得x0，
构建g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，因为y＝a2，y＝ln a－1在(0，＋∞)上均单调递增，
所以g(a)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0，则不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1．所以a的取值范围为(1，＋∞)．
17．解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，
底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．因为r>0，又由h>0可得r<5，故函数V(r)的定义域为(0，5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，所以V'(r)＝(300－12r2)．令V'(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0，5)时，V'(r)>0，故V(r)在(0，5)上单调递增；当r∈(5，5)上单调递减．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8．即当r＝5 m，h＝8 m时，该蓄水池的体积最大．
18．解：(1)f(x)的导函数为f'(x)＝(x>0)，f'(1)＝＝1－a，解得a＝1．(2)由(1)得f'(x)＝(x>0)，
当00，－ln x>0，∴f'(x)>0，故f(x)在(0，1)上单调递增；当x>1时，1－x2<0，－ln x<0，∴f'(x)<0，故f(x)在(1，＋∞)上单调递减，∴f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．∵0<<11．则h'(b)＝ln b>0，故h(b)在区间(1，＋∞)上单调递增，当b→1时，h(b)→0 h(b)>0 f(b)>f，
故f(x)最小值f．
19．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝，所以f'(1)＝－ln 2，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－0＝－(x－1)ln 2，即xln 2＋y－ln 2＝0．
(2)由题意得f'(x)＝－0(x>0)，因为x2(1＋x)>0，所以只需满足ax2＋x－(1＋x)ln(1＋x)0(x>0)．设g(x)＝ax2＋x－(1＋x)ln(1＋x)，则g'(x)＝2ax＋1－ln(1＋x)－1＝2ax－ln(1＋x)．若a0，则g'(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，于是在(0，＋∞)上g(x)0，设h(x)＝g'(x)，则h'(x)＝2a－，h'(0)＝2a－1．
①若00，所以h(x)即g'(x)在上单调递减，g(x)②若a，因为h'(x)在(0，＋∞)上单调递增，h'(x)>h'(0)＝2a－10，所以h(x)即g'(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以在(0，＋∞)上g'(x)>g'(0)＝0，于是g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以在(0，＋∞)上g(x)>g(0)＝0，满足题意．综上所述，a的取值范围为．
模块综合测评
1．D ［设等比数列的公比为q，q≠0，若q＝1，则a2－a5＝0，与题意矛盾，所以q≠1，则 所以a6＝a1q5＝3．故选D．］
2．B ［由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k>0，解得k<1．故实数k的取值范围是(－∞，1)．故选B．］
3．B ［由题意，1－，∴，∴e＝．］
4．D ［因为函数f(x)是奇函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，f'(x)＝3x2＋1，所以f'(0)＝1，f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y－f(0)＝f'(0)x，化简可得y＝x，故选D．］
5．D ［f'(x)＝x2＋4x＋3＝(x＋1)(x＋3)，令f'(x)＝0，解得x＝－1或x＝－3，所以当－2x－1时，f'(x)<0，f(x)单调递减，当－10，f(x)单调递增，所以当x＝－1时，f(x)取极小值，即为最小值，f(－1)＝－，故f(x)在［－2，2］上的最小值为－．］
6．C ［由题意，以F
，∵△MNF为正三角形，∴p＝，∵p>0，∴p＝2y．］
7．B ［由题意得，f'(x)＝ex(sin x＋a)＋excos x＝ex．∵f(x)在上单调递增，∴f'(x)0在上恒成立．又ex>0，∴上恒成立．当x∈，∴sin．∴＋a］，∴－1＋a0，解得a∈［1，＋∞)．故选B．］
8．C ［因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，c＝2b－a，代入直线方程ax＋by＋c＝0得ax＋by＋2b－a＝0，即a(x－1)＋b(y＋2)＝0，令故直线恒过点(1，－2)，设P(1，－2)．圆化为标准方程得x2＋(y＋2)2＝5，设圆心为C，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC⊥AB时，|AB|最小，|PC|＝1，|AC|＝|r|＝＝4．
故选C．］
9．AC ［因为Sn为数列的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，所以S1＝2a1＋1，因此a1＝－1，当n2时，an＝Sn－Sn-1＝2an－2an-1，即an＝2an-1，所以数列是以－1为首项，2为公比的等比数列，故C正确；因此a5＝－1×24＝－16，故A正确；又Sn＝2an＋1＝－2n＋1，所以S5＝－25＋1＝－31，故B错误；
因为S1＋1＝0，所以数列不是等比数列，故D错误．故选AC．］
10．AC ［由题意知，f'(x)＝3x2－1，令f'(x)>0得x>，令f'(x)<0得－，所以f(x)在上单调递增，所以x＝±是极值点，故A正确；因为f>0，f(－2)＝－5<0，所以函数f(x)在上有一个零点，当x上无零点，
综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；令h(x)＝x3－x，该函数的定义域为R，h(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－h(x)，则h(x)是奇函数，点(0，0)是h(x)的对称中心，将h(x)的图象向上平移一个单位长度得到f(x)的图象，所以点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心，故C正确；令f'(x)＝3x2－1＝2，可得x＝±1，又f(1)＝f(－1)＝1，当切点为(1，1)时，切线方程为y＝2x－1，当切点为(－1，1)时，切线方程为y＝2x＋3，故D错误．故选AC．］
11．ABC ［对于A中，椭圆的左、右顶点的坐标分别为A(－a，0)，B(a，0)，
设椭圆上除左、右顶点以外的任意一点P(m，n)，则kPA·kPB＝，
又因为点P(m，n)在椭圆上，可得b2，所以kPA·kPB＝－，故A正确；对于B中，设双曲线＝1的右焦点F(c，0)，AB为过双曲线的焦点且垂直于实轴的弦，则|AB|＝2b，故B正确；对于C中，当AB斜率不存在时，xA＝xB＝，所以有x1x2＝，代入y2＝2px得k2，故C正确；对于D中，当直线和抛物线的对称轴平行时，满足只有一个交点，但此时直线与抛物线是相交的，所以直线与圆锥曲线有一个公共点，该直线和圆锥曲线相切是错误的，即D项是不正确的．］
12．＝1，即p＝2，所以抛物线y2＝4x．由可得x2＋2x－24＝0，故x＝4或x＝－6(舍去)，故A(4，±4)，故直线AF的方程为y＝±(x－1)，即4x－3y－4＝0或4x＋3y－4＝0，故原点到直线AF的距离为d＝．］
13． ［Sn是数列｛an｝的前n项和，且a1＝－1，an+1＝2SnSn+1，令n＝1，则a2＝2a1(a1＋a2)，∴a2＝－2(－1＋a2)，解得a2＝．又Sn+1－Sn＝2SnSn+1，整理得＝2(常数)，即＝－2(常数)，故数列＝－1为首项，－2为公差的等差数列，所以．］
14．ln(1＋a)，因为ax>0，所以g(x)0．
因为a∈(0，1)，所以ln(1＋a)>0，＋1>1，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故只需满足g(0)0，即ln a＋ln(1＋a)＝ln(a＋a2)0，所以a＋a21，解得a或a，又015．解：线段AB的中点为(1，3)，kAB＝，∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1．由，∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10．
16．解：(1)由已知可得h(x)＝f(x)－3x＝ln x＋x2－3x，h'(x)＝(x>0)，
令h'(x)＝＝0，可得x＝或x＝1，则当x∈∪(1，＋∞)时，h'(x)>0，
当x∈时，h'(x)<0，∴h(x)在上单调递减，则＝－2，h(x)极大值＝h－ln 2．
(2)g(x)＝f(x)－ax＝ln x＋x2－ax，g'(x)＝＋2x－a(x>0)，由题意可知g'(x)0(x>0)恒成立，即a，∵x>0时，2x＋时等号成立，∴，∴a］．
17．解：(1)∵点(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上，∴an+1＝an＋1，
∴数列｛an｝是公差为1的等差数列．∵a1＝1，∴an＝1＋(n－1)＝n．∵Sn＝2－bn，∴Sn+1＝2－bn+1，两式相减得bn+1＝－bn+1＋bn，即，由S1＝2－b1，即b1＝2－b1，得b1＝1．∴数列｛bn｝是首项为1，公比为的等比数列，∴bn＝．(2)log2bn+1＝log2＝－n，∴cn＝，∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋…＋．
18．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝a－．当a<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a>0时，x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减．综上所述，当a0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，无单调递增区间；当a>0时，f(x)在上单调递减．
(2)证明：当aex-1－2x＋1＋ln x，令g(x)＝ex-1－2x＋1＋ln x(x>1)，下证g(x)>0即可．g'(x)＝ex-1－2＋，显然h'(x)在(1，＋∞)上单调递增，则h'(x)>h'(1)＝e0－1＝0，即g'(x)＝h(x)在(1，＋∞)上单调递增，故g'(x)>g'(1)＝e0－2＋1＝0，即g(x)在(1，＋∞)上单调递增，故g(x)>g(1)＝e0－2＋1＋ln 1＝0，问题得证．
19．解：(1)由题设得，解得a2＝6，b2＝3．所以C的方程为＝1．
(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)．若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入＝1，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0．于是x1＋x2＝－．①由AM⊥AN知＝0，故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，可得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0．将①代入上式，可得(k2＋1)＋(m－1)2＋4＝0．整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0．因为A(2，1)不在直线MN上，所以2k＋m－1≠0，故2k＋3m＋1＝0，k≠1，m＝－．于是MN的方程为y＝k(k≠1)．所以直线MN过点P．若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，－y1)．由＝0，得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0．又－8x1＋4＝0．解得x1＝2(舍去)，x1＝．此时直线MN过点P．令Q为AP的中点，即Q．若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，故|DQ|＝．若D与P重合，则|DQ|＝|AP|．综上，存在点Q，使得|DQ|为定值．
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