课时分层作业(六) 两条直线的交点
一、选择题
1．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点坐标是( )
A． B．
C． D．
2．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与直线x＋y＋1＝0垂直的直线方程是( )
A．x＋y－5＝0 B．x－y＋5＝0
C．x＋y＋7＝0 D．x－y＋7＝0
3．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为( )
A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0
C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0
4．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是( )
A．(2，3) B．(－2，－1)
C．(－4，－3) D．(0，1)
5．直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝( )
A．－2 B．－4
C．－6 D．－8
二、填空题
6．若直线x－2y－2k＝0与直线2x－3y－k＝0的交点在直线3x－y＝0上，则k的值为________．
7．若a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过的定点坐标是________．
8．若直线l：y＝kx－与直线l1：2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．
三、解答题
9．(源自人教A版教材)判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：
(1)l1：x－y＝0， l2：3x＋3y－10＝0；
(2)l1：3x－y＋4＝0， l2：6x－2y－1＝0；
(3)l1：3x＋4y－5＝0， l2：6x＋8y－10＝0．
10．(源自北师大版教材)已知A(1，4)，B(－2，－1)，C(4，1)是△ABC的三个顶点，求证：△ABC的三条中线交于一点．
11．(多选题)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的可能取值为( )
A．－ B． C． D．－
12．已知直线l1：y＝kx＋1与直线l2：y＝－x＋2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是__________．
13．无论m取何值，直线(m－1)x＋(m－2)y＝5都一定过第________象限．
14．当0＜a＜2时，直线l1：ax－2y＝2a－4和l2：2x＋a2y＝2a2＋4与坐标轴围成一个四边形，则使四边形的面积最小时a的值为________．
15．过点M(0，1)作直线，使它被两直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程．
1 / 2课时分层作业(六)
1．B ［联立．］
2．B ［直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点为(－1，4)，与x＋y＋1＝0垂直，得斜率为1，由点斜式，得y－4＝x＋1，即x－y＋5＝0．］
3．B ［设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，因为l过原点，所以λ＝8．则所求直线方程为2x－y＝0．］
4．A ［由题意知，直线MN过点M(0，－1)且与直线x＋2y－3＝0垂直，其方程为2x－y－1＝0．联立即N点坐标为(2，3)．］
5．B ［∵直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，∴－＝－1，
∴a＝10，∴ax＋4y－2＝0即为5x＋2y－1＝0．将点(1，c)的坐标代入上式可得5＋2c－1＝0，解得c＝－2．将点(1，－2)的坐标代入方程2x－5y＋b＝0，得2－5×(－2)＋b＝0，解得b＝－12．∴a＋b＋c＝10－12－2＝－4．］
6．0 ［由得交点坐标为(－4k，－3k)，代入3x－y＝0，解得k＝0．］
7． ［因为a＋2b＝1，所以a＝1－2b，所以直线ax＋3y＋b＝0可化为(1－2b)x＋3y＋b＝0，即x＋3y＋(－2x＋1)b＝0．由
即直线ax＋3y＋b＝0必过的定点坐标是．］
8． ［如图，直线l1：2x＋3y－6＝0过A(3，0)，B(0，2)，而l过定点C(0，－)，
由图象可知．］
9．解：(1)解方程组得所以，l1与l2相交，交点是M．
(2)解方程组
①×2－②得9＝0，矛盾，这个方程组无解，所以l1与l2无公共点，l1∥l2．
(3)解方程组
①×2得6x＋8y－10＝0．
①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．
10．证明：根据已知条件将A，B，C三点画在平面直角坐标系中，如图．则易求得三边的中点坐标分别为E．
所以中线AF所在直线的方程为x＝1，中线BG所在直线的方程为，
即y＋1＝(x＋2)，中线CE所在直线的方程为，即y－1＝－(x－4)．
由即交点P的坐标为．因为在中线CE所在直线上．所以△ABC的三条中线交于一点．
11．ACD ［因为三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，所以直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点．直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0分别平行时，m＝
，故选ACD．］
12．得x＝，∵直线l1：y＝kx＋1与直线l2：y＝－x＋2的交点位于第四象限，∴，
∴实数k的取值范围是．］
13．四 ［直线(m－1)x＋(m－2)y＝5化简得，m(x＋y)－(x＋2y＋5)＝0，令即直线(m－1)x＋(m－2)y＝5一定过点(5，－5)，又点(5，－5)在第四象限，所以直线(m－1)x＋(m－2)y＝5一定过第四象限．］
14． ［如图，直线l1：a(x－2)－2(y－2)＝0，
∴l1过定点B(2，2)．直线l2：(2x－4)＋a2(y－2)＝0，由2x－4＝0和y－2＝0得l2也过定点B(2，2)．∵l1与y轴交于点A(0，2－a)，l2与x轴交于点C(a2＋2，0)．∴S四边形OABC＝S△AOB＋S△BOC＝×(a2＋2)×2＝a2－a＋4＝．∴当a＝．即四边形OABC的面积最小时，a的值为．］
15．解：法一：过点M且与x轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为y＝kx＋1．
设所求直线与已知直线l1，l2分别交于A，B两点．
由得A的横坐标xA＝．
由得B的横坐标xB＝．
∵点M平分线段AB，∴＝0，解得k＝－．
故所求的直线方程为x＋4y－4＝0．
法二：设所求直线与l1，l2分别交于A，B两点，且设A(3m－10，m)，B(a，8－2a)．
∵M为线段AB的中点，∴解得∴A(－4，2)，B(4，0)，
∴直线AB即为所求直线，其方程为x＋4y－4＝0．
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