课时分层作业(十) 圆的一般方程
一、选择题
1．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为，则a＝( )
A．0或－1 B．0
C．7 D．－1或7
2．若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3，0)和(7，0)，则直角顶点C的轨迹方程为( )
A．x2＋y2＝25(y≠0)
B．x2＋y2＝25
C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0)
D．(x－2)2＋y2＝25
3．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，最大面积是( )
A．π B．π
C．3π D．不存在
4．过三个点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
5．已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1，2)的直线l与圆C相交于A，B两点，当弦AB最短时，直线l的方程为2x－y＝0，则a的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
二、填空题
6．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0，1)，则点B的坐标为________．
7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的一般方程为________．
8．已知两点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积的最小值是________．
三、解答题
9．(源自人教A版教材)已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．
10．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2，3)．
(1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值．
11．(多选题)关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述正确的是( )
A．圆心在直线y＝－x上
B．圆心在直线y＝x上
C．圆过原点
D．圆的半径为|a|
12．使方程x2＋y2－ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的实数a的可能取值为( )
A．－2 B．0
C．1 D．
13．当动点P在圆x2＋y2＝2上运动时，它与定点A(3，1)连线中点Q的轨迹方程为________．
14．M(3，0)是圆C：x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程为________，最短的弦所在的直线方程是________．
15．设△ABC的顶点坐标A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，其中a＞0，圆M为△ABC的外接圆．
(1)求圆M的方程；
(2)当a变化时，圆M是否过某一定点？请说明理由．
1 / 2课时分层作业(十)
1．D ［将x2＋y2－2x－8y＋13＝0整理得(x－1)2＋(y－4)2＝4，所以圆的圆心坐标为(1，4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝，整理得a2－6a－7＝0，解得a＝－1或a＝7．］
2．C ［线段AB的中点为(2，0)，因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以C到点(2，0)的距离为＝5(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝25(y≠0)．］
3．B ［所给圆的半径为r＝．所以当m＝－1时，半径r取最大值π．］
4．C ［设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则故圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0．令x＝0，得y2＋4y－20＝0，设M(0，y1)，N(0，y2)，则|MN|＝|y1－y2|＝．故选C．］
5．B ［圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0化简为(x＋1)2＋(y－a)2＝a2＋1，圆心坐标为C(－1，a)，半径为．如图，
由题意可得，当弦AB最短时，过圆心与点(1，2)的直线与直线2x－y＝0垂直．
则，即a＝3．故选B．］
6．(2，－3) ［由x2＋y2－2x＋2y－3＝0，得(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心C(1，－1)．设B(x0，y0)，又A(0，1)，由中点坐标公式得解得所以点B的坐标为(2，－3)．］
7．x2＋y2－4x－5＝0 ［设圆C的圆心坐标为(a，0)(a>0)，由题意可得＝3，所以圆C的方程为x2＋y2－4x－5＝0．］
8．3－
．］
9．解：设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)．由于点B的坐标是(4，3)，且M是线段AB的中点，所以x＝．于是有x0＝2x－4，y0＝2y－3. ①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即(x0＋1)2＋＝4. ②
把①代入②，得(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，整理，得＝1．这就是点M的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为1的圆．
10．解：(1)∵点P(a，a＋1)在圆上，∴a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0，∴a＝4，P(4，5)，∴|PQ|＝，kPQ＝．
(2)∵圆心C的坐标为(2，7)，∴|QC|＝，圆的半径是2，点Q在圆外，∴|MQ|max＝4，|MQ|min＝4．
11．ACD ［圆x2＋y2＋2ax－2ay＝0可化为(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2．圆心坐标为(－a，a)适合方程y＝－x．∴A正确，不适合y＝x，∴B错误，把(0，0)代入圆的方程适合，∴C正确，又r2＝2a2，∴r＝|a|，∴D正确．故选ACD．］
12．B ［该方程若表示圆，则有(－a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即3a2＋4a－4<0，解得－2
13． ［设Q(x，y)，P(a，b)，由中点坐标公式得
点P(2x－3，2y－1)满足圆x2＋y2＝2的方程，所以(2x－3)2＋(2y－1)2＝2，化简得，即为点Q的轨迹方程．］
14．x－y－3＝0 x＋y－3＝0 ［由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦．易求出圆心为C(4，1)，kCM＝＝1，∴最短的弦所在的直线的斜率为－1，由点斜式，分别得到方程y＝x－3和y＝－(x－3)，即x－y－3＝0和x＋y－3＝0．］
15．解：(1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．∵圆M过点A(0，a)，B(－，0)，∴解得D＝0，E＝3－a，F＝－3a．
∴圆M的方程为x2＋y2＋(3－a)y－3a＝0．
(2)圆M的方程可化为(3＋y)a－(x2＋y2＋3y)＝0．由解得x＝0，y＝－3．∴圆M过定点(0，－3)．
3 / 3