课时分层作业(七) 平面上两点间的距离
一、选择题
1．已知线段AB的中点坐标是(－2，3)，点A的坐标是(2，－1)，则点B的坐标是( )
A．(－6，7) B．(6，7)
C．(6，－7) D．(－6，－7)
2．已知点M，N，且MN＝2，则实数m等于( )
A．1 B．3
C．1或3 D．－1或3
3．已知△ABC的三个顶点分别为A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是( )
A．2 B．3＋2
C．6＋3 D．6＋
4．以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
5．(多选题)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是( )
A．(－4，5) B．(－3，4)
C．(－1，2) D．(0，1)
二、填空题
6．已知A，B两点都在直线y＝2x－1上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为________．
7．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且PA＝PB，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为________．
8．已知A(1，2)，B(－1，1)，C(0，－1)，D(2，0)，则四边形ABCD的形状为________．
三、解答题
9．(源自人教A版教材)用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．
10．已知三角形的顶点为A，B，C．
(1)求直线AC的方程；
(2)求点B关于直线AC的对称点D的坐标；
(3)若直线l过点B且与直线AC交于点E，＝3，求直线l的方程．
11．已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当AB取最小值时，实数a的值是( )
A．－ B．－
C． D．
12．在平面直角坐标系中，已知点A(cos 15°，sin 15°)，B(cos 75°，sin 75°)，则AB＝( )
A．1 B．
C． D．2
13．已知函数y＝2x的图象与y轴交于点A，函数y＝lg x的图象与x轴交于点B，点P在直线AB上移动，点Q(0，－2)，则PQ的最小值为________．
14．直线l过点P(1，4)，且分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点．
(1)当OA＋OB最小时，l的方程为________；
(2)若PA·PB最小，求l的方程为________．
15．有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB＝AC＝13 km，BC＝10 km，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处．(建立坐标系如图)
(1)若希望点P到三镇距离的平方和最小，点P应位于何处？
(2)若希望点P到三镇的最远距离最小，点P应位于何处？
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1．A ［设点B的坐标是(x，y)，则解得］
2．C ［因为MN＝，所以，即m2－4m＋3＝0，解得m＝1或m＝3，故选C．］
3．C ［由题意知AB＝＝3，BC＝＝3，故△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝6＋3．］
4．C ［AB＝，AC＝，
BC＝，故BC2＝AB2＋AC2，所以△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形．］
5．BC ［设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，且 ，两式联立解得］
6． ［设点A(a，2a－1)，点B(b，2b－1)，∵|a－b|＝，∴AB＝．］
7．x＋y－5＝0 ［由已知，得A(－1，0)，P(2，3)，由PA＝PB，得B(5，0)，
由两点式得直线PB的方程为x＋y－5＝0．］
8．正方形 ［由kAB＝，kBC＝－2，kAD＝－2，得AB∥CD，BC∥AD，AB⊥BC，所以四边形ABCD为矩形，又AB＝，BC＝，所以AB＝BC，故四边形ABCD为正方形．］
9．证明：如图，四边形ABCD是平行四边形．以顶点A为原点，边AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
在 ABCD中，点A的坐标是(0，0)，设点B的坐标为(a，0)，点D的坐标为(b，c)，由平行四边形的性质，得点C的坐标为(a＋b，c)．
由两点间的距离公式，得|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2，|AB|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2．所以|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AB|2＋|AD|2＝a2＋b2＋c2．所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)，即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．
10．解：(1)因为直线AC的斜率kAC＝，所以直线AC的方程为y－3＝，
即直线AC的方程为x－2y＋4＝0．(2)设D的坐标为解得．
(3)设E的坐标为＝3，∴＝3，解得t＝0或t＝－，∴E的坐标为，∴直线l的方程为x＝0或3x＋4y＋4＝0．
11．C ［AB＝，∴当a＝时，AB取得最小值．］
12．A ［∵AB2＝(cos 15°－cos 75°)2＋(sin 15°－sin 75°)2＝2－2(cos 15°cos 75°＋sin 15°sin 75°)＝2－2cos(－60°)＝2－2×＝1，∴AB＝1．］
13． ［易知A(0，1)，B(1，0)，所以直线AB：y＝1－x．设P(x0，y0)，
又y0＝1－x0，所以PQ＝＝．］
14．(1)2x＋y－6＝0 (2)x＋y－5＝0 ［(1)依题意，l的斜率存在，且斜率为负，
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－4＝k．令y＝0，可得A．∴OA＋OB＝1－5＋4＝9．∴当且仅当－k＝且k<0，即k＝－2时，OA＋OB取最小值，这时l的方程为2x＋y－6＝0．(2)PA·PB＝
＝4，当且仅当＝－k且k<0，即k＝－1时，PA·PB取最小值，这时l的方程为x＋y－5＝0．］
15．解：(1)设P的坐标为(0，y)，则P至三镇距离的平方和为f(y)＝2(25＋y2)＋(12－y)2＝3(y－4)2＋146，所以当y＝4时，函数f(y)取得最小值，点P的坐标是(0，4)．
(2)设P至三镇的最远距离为g(y)＝由，于是g(y)＝因为g(y)＝在［y*，＋∞)上单调递增，而g(y)＝|12－y|在(－∞，y*］上单调递减，所以y＝y*时，函数g(y)取得最小值．所以点P的坐标是．
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