课时分层作业(十一) 直线与圆的位置关系
一、选择题
1．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )
A．－2或12 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
2．与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是( )
A．4x－3y＝6 B．4x－3y＝－6
C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6
3．过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A．0°＜α30° B．0°＜α60°
C．0°α30° D．0°α60°
4．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0关于直线3x－ay－11＝0对称，则圆C中以为中点的弦长为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是( )
A．－
B．－，0∪0，
C．－
D．－∞，－∪，＋∞
二、填空题
6．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点有________个．
7．直线x－y＝0与圆(x－2)2＋y2＝4交于点A，B，则|AB|＝________．
8．过原点作圆x2＋(y－6)2＝9的两条切线，则两条切线所成的锐角是________．
三、解答题
9．(源自北师大版教材)已知直线m：3x＋4y－2＝0与圆P：x2＋y2－2x－2y＝0．
(1)写出圆P的圆心坐标和半径，并在平面直角坐标系中画出直线m和圆P的图形；
(2)由(1)所画图形，判断直线m与圆P的位置关系，若相交，求直线m被圆P截得的弦长；若相切或相离，给出证明．
10．已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．
11．(多选题)已知圆M与直线x＋y＋2＝0相切于点A(0，－2)，圆M被x轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是( )
A．圆M的圆心在定直线x－y－2＝0上
B．圆M的面积的最大值为50π
C．圆M的半径的最小值为1
D．满足条件的所有圆M的半径之积为10
12．若直线x－my＋m＝0与圆(x－1)2＋y2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m的取值范围是( )
A．(0，1) B．(0，2)
C．(－1，0) D．(－2，0)
13．过直线l：y＝x－2上任意点P作圆C：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最小时，切线长为________，同时△PAB的面积为________．
14．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．
15．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点．
(1)求四边形PACB面积的最小值；
(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
1 / 3课时分层作业(十一)
1．D ［法一：由3x＋4y＝b得y＝－，代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，
解得b＝2或b＝12．
法二：由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可知圆心坐标为(1，1)，半径为1，所以＝1，解得b＝2或b＝12．］
2．B ［设与直线3x＋4y＝0垂直的直线方程为l：4x－3y＋m＝0，直线与圆(x－1)2＋y2＝4相切，则圆心(1，0)到直线l的距离为半径2，即＝2，∴m＝6或m＝－14，所以直线l方程为4x－3y＋6＝0，或4x－3y－14＝0，由选项可知B正确，故选B．］
3．D ［易知直线l的斜率存在，所以可设l：y＋1＝k(x＋k－1＝0．因为直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，所以圆心(0，0)到直线l的距离d＝k0，解得0k，故直线l的倾斜角α的取值范围是0°α60°．］
4．D ［依题意可知直线过圆心(1，－2)，即3＋2a－11＝0，解得a＝4．故
＝4．］
5．B ［曲线C1是以(1，0)为圆心，1为半径的圆，当m≠0时，C2是两直线y＝0，y＝m(x＋1)，其中y＝0与圆一定有两个交点，直线y＝m(x＋1)与圆相切时，m＝±．故选B．］
6．3 ［圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，所以弦心距为d＝．
又圆的半径为2的点有3个．］
7．2，半径r＝2，∴|AB|＝2．］
8．60° ［根据题意作出图象如图所示，其中OA，OB是圆的切线，A，B为切点，C为圆心，
则AC⊥AO，由圆的方程x2＋(y－6)2＝9可得圆心C(0，6)，圆的半径r＝3，
在Rt△AOC中，可得∠COA＝30°，又OC将∠AOB平分，所以∠AOB＝60°．］
9．解：(1)将圆的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－1)2＝2，即圆P是以点(1，1)为圆心，为半径的圆(如图1)．
(2)因为圆心P到直线m的距离d＝，所以直线m与圆P相交．
设交点为A，B，圆P的半径为r(如图2)，易知△PAB是等腰三角形，腰PA，PB的长为圆P的半径长，即PA＝PB＝r＝，底边AB上的高为圆心P到直线m的距离d．所以由勾股定理，得|AB|＝2＝2．故直线m被圆P截得的弦长为2．
10．解：(1)设圆A的半径为r，∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴r＝，∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20．
(2)当直线l与x轴垂直时，则直线l的方程为x＝－2，此时有|MN|＝2，即x＝－2符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0．∵Q是MN的中点，∴AQ⊥MN，∴|AQ|2＋＝r2，又∵|MN|＝2，∴|AQ|＝＝1，解方程|AQ|＝，∴此时直线l的方程为y－0＝(x＋2)，即3x－4y＋6＝0．综上所述，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0．
11．ABD ［对A：因为圆M与直线x＋y＋2＝0相切于点A(0，－2)，故直线AM与直线x＋y＋2＝0垂直，故M落在直线x－y－2＝0上，故A正确；对BCD：设圆心为(a，a－2)，则r＝，解得a＝1或a＝－5，∴r＝，∴满足条件的所有圆C的半径之积是10，故BD正确，C错误．］
12．D ［圆与直线的方程联立整理得(1＋m2)y2－2m(m＋1)y＋m2＋2m＝0，∵图象有两个交点，∴方程有两个不同的实数根，即Δ>0，Δ＝4m2(m＋1)2－4(m2＋2m)(m2＋1)＝－8m>0，解得m<0．∵圆(x－1)2＋y2＝1都在x轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限．∴y1y2＝<0，解得－213．1 ［依据题意作出图象，如图：
因为直线l过点P且与圆x2＋y2＝1相切于点A，所以PA⊥OA，所以PA＝
．此时，(PA)min＝＝1．又∠OPA＝，由切线的对称性可得∠BPA＝，PB＝1，所以S△PAB＝．］
14．4±．因为△ABC为等边三角形，所以AB＝BC＝2，所以＋12＝22，解得a＝4±．］
15．解：(1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为．
所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|×|AC|＝|AP|．因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，所以当|PC|2最小时，|AP|最小．因为|PC|2＝(1－x)2＋＋9．所以当x＝－＝9．所以|AP|min＝．即四边形PACB面积的最小值为2．
(2)由(1)知圆心C到点P的距离3为C到直线上点的最小值，若∠APB＝60°，易得需PC＝2，这是不可能的，所以这样的点P是不存在的．
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