课时分层作业(十二) 圆与圆的位置关系
一、选择题
1．圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
2．已知半径为1的动圆与定圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25
B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
3．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
4．圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－2)2＝4的公共弦所对的圆心角是( )
A．60° B．45°
C．120° D．90°
5．已知⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)相交于A，B两点，若两圆在A点处的切线互相垂直，且|AB|＝4，则⊙O1的方程为( )
A．(x－4)2＋y2＝20 B．(x－4)2＋y2＝50
C．(x－5)2＋y2＝20 D．(x－5)2＋y2＝50
二、填空题
6．过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点(3，1)的圆的方程是________．
7．已知两圆(x＋2)2＋(y－2)2＝4和x2＋y2＝4相交于M，N两点，则|MN|＝________．
8．过原点O作圆x2＋y2－4x－8y＋16＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则直线PQ的方程为________．
三、解答题
9．设半径为3 km的圆形村落，A，B两人同时从村落中心出发，A向东，B向北，A出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B相遇，设A，B两人的速度一定，其比为3∶1，问A，B两人在何处相遇？
10．已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，求过两圆的交点的圆中面积最小的圆的方程．
11．(多选题)已知直线y＝x＋b与曲线y＝3－，下列说法正确的是( )
A．b＝1±2时，直线与曲线有且仅有一个交点
B．－1＜b3时，直线与曲线有且仅有一个交点
C．1－2＜b－1时，直线与曲线有两个交点
D．b＞3或b＜1－2时，直线与曲线没有交点
12．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面的高度不得超过( )
A．1.4米 B．3.5米
C．3.6米 D．2米
13．设直线l：y＝kx＋b(k>0)，圆C1：x2＋y2＝1，C2：(x－4)2＋y2＝1，若直线l与C1，C2都相切，则k＝________；b＝________．
14．写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程______________．
15．如图，圆C：x2－(1＋a)x＋y2－ay＋a＝0．
(1)若圆C与x轴相切，求圆C的方程；
(2)已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N(点M在点N的左侧)．过点M任作一条直线与圆O：x2＋y2＝4相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得∠ANM＝∠BNM？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
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1．D ［x2－4x＋y2＝0 (x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2，0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0 (x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2，0)，半径为1，圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选D．］
2．D ［动圆可能在定圆的外部，也可能在定圆的内部，根据题意知，动圆圆心的轨迹应是(x－5)2＋(y＋7)2＝16的同心圆，半径分别为3和5，故应选D．］
3．B ［法一：由得两交点为(0，0)，(－a，a)．∵圆M截直线所得线段长度为2，∴．又a>0，∴a＝2．∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0，2)，半径r1＝2．又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1，1)，半径r2＝1，∴|MN|＝．
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3，1<|MN|<3，∴两圆相交．
法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0) x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∴M(0，a)，r1＝a．
依题意，有，解得a＝2．以下同法一．］
4．D ［圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为(2，0)，半径为r＝2．圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0，2)，半径为r＝2．圆心距为d＝．设公共弦所对的圆心角是2θ，则cos θ＝，∴θ＝45°，∴2θ＝90°．故选D．］
5．C ［根据题意，☉O的圆心O为(0，0)，半径为．☉O1的圆心O1(a，0)，半径为r．∵☉O与☉O1相交于A，B两点，且两圆在A点处的切线互相垂直，
∴()2＋r2＝a2. ①
又由|AB|＝4，则×r，
即|a|＝r． ②
联立①②得5＋r2＝，解得r2＝20，a＝5．故☉O1的方程为(x－5)2＋y2＝20．］
6．x2＋y2－
x＋y＋2＝0．］
7．2 ［由题意可知直线MN方程为(x＋2)2＋(y－2)2－x2－y2＝0，即MN：x－y＋2＝0．圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，则圆心(0，0)到x－y＋2＝0的距离d＝．所以|MN|＝2．］
8．x＋2y－8＝0 ［把圆的方程化成标准方程(x－2)2＋(y－4)2＝4，∴圆心为(2，4)，半径为2．圆心到原点的距离为＝4，∴P，Q在以(0，0)为圆心，以4为半径的圆上，方程为x2＋y2＝16．由得x＋2y－8＝0．这就是PQ所在直线的方程．］
9．解：由题意以村中心为原点，正东方向为x轴的正方向，正北为y轴的正方向，建立直角坐标系，设A，B两人的速度分别为3v km/h，v km/h，A出发a h，在P处改变方向，又经过b h到达相遇点Q，
则|PQ|＝3bv，|OP|＝3av，|OQ|＝(a＋b)v，则P(3av，0)，Q(0，(a＋b)v)，在Rt△OPQ中，由|PQ|2＝|OP|2＋|OQ|2，得(a＋b)(5a－4b)＝0，所以5a＝4b，kPQ＝，设直线PQ的方程为y＝－x＋c(c>0)，即3x＋4y－4c＝0(c>0)．由PQ与圆x2＋y2＝9相切，得＝3，解得c＝ km处．
10．解：由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x－y＝0．∵圆C1：(x＋2)2＋y2＝3，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，圆心C1(－2，0)，C2(－1，－1)，
∴两圆心连线所在直线的方程为，即x＋y＋2＝0．过两圆的交点的圆中面积最小的圆也就是以公共弦为直径的圆．由得所求圆的圆心为(－1，－1)．又圆心C1(－2，0)到公共弦所在直线x－y＝0的距离d＝，∴所求圆的半径r＝＝1，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1．
11．BCD ［把y＝3－化成(x－2)2＋(y－3)2＝4，因为0x4，y3，所以曲线表示圆的下半部分，如图，C(2，3)，A(0，3)，B(4，3)．
当y＝x＋b过点A时，b＝3，直线与曲线有且仅有一个交点，当y＝x＋b过点B时，b＝－1，这时直线与曲线有两个交点，当y＝x＋b与曲线相切时，舍去)．
∴当b>3或b<1－212．B ［建立如图所示的平面直角坐标系．设篷顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)所在圆的方程为x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入，得0.82＋h2＝3.62．
∴h＝≈3.5(米)．］
13．＝1，所以|b|＝，所以k＝0(舍)或者b＝－2k，解得k＝．］
14．y＝－或x＝－1(写出其中任意一个即可) ［圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3，4)，半径r1为4，
两圆圆心距为＝5＝r＋r1，故两圆外切．如图，
当切线为l时，因为x＋t(t>0)，O到l的距离d＝．当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p>0，k<0，由题意
所以m的方程为y＝．当切线为n时，易知切线方程为x＝－1．］
15．解：(1)由题意得得x2－(1＋a)x＋a＝0，
由题意得Δ＝(1＋a)2－4a＝(a－1)2＝0，所以a＝1．故所求圆C的方程为x2－2x＋y2－y＋1＝0．
(2)令y＝0，得x2－(1＋a)x＋a＝0，即(x－1)(x－a)＝0，所以M(1，0)，N(a，0)，假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，
代入x2＋y2＝4得，(1＋k2)x2－2k2x＋k2－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，从而x1＋x2＝．因为直线NA，NB的斜率之和为＝，而(x1－1)(x2－a)＋(x2－1)(x1－a)＝2x1x2－(a＋1)(x2＋x1)＋2a＝2×＋2a＝，因为∠ANM＝∠BNM，所以＝0，即＝0，得a＝4．当直线AB与x轴垂直时，也成立．故存在a＝4，使得∠ANM＝∠BNM．
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