课时分层作业(十三)
1．C ［a>0，b>0时，方程ax2＋by2＝1不一定表示椭圆，如a＝b＝1；
反之，若方程ax2＋by2＝1表示椭圆，则a>0，b>0．
∴“a>0，b>0”是“方程ax2＋by2＝1表示椭圆”的必要非充分条件．］
2．C ［∵椭圆，0)，∴b2＝2，c＝，∴a2＝b2＋c2＝3＋2＝5，∴椭圆方程为＝1．］
3．B ［∵2c＝|F1F2|＝2．∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2．∴b2＝a2－c2＝9．故椭圆C的标准方程是＝1．］
4．B ［由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝
×4×2＝4，故选B．］
5．B ［由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7．］
6．
＝1．］
7．．］
8．8－4，b＝2，∴c＝＝1，∴|F1F2|＝2．又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2．在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 30°，即4＝20－(2＋)|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)．∴．］
9．解：法一：因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＝1(a>b>0)．根据椭圆的定义知2a＝
＝＝2，从而a＝．又c＝2，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6．
所以椭圆的标准方程为＝1．
法二：因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＝1(a>b>0)．
因为点P在椭圆上，又c＝2，所以解得b2＝6或b2＝－(舍)，则a2＝10．所以椭圆的标准方程为＝1．
10．解：由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3．设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R．因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>2．由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(左顶点除外)，则a＝2，c＝1，故b2＝a2－c2＝4－1＝3，故所求C的方程为＝1(x≠－2)．
11．ABD ［A中，|F1F2|＝8，则平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A错误；B中，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，所以B错误；C中，点M(5，3)到F1，F2两点的距离之和为>|F1F2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误．故选ABD．］
12．A ［易知sin α≠0，cos α≠0，方程x2sin α＋y2cos α＝1可化为>0，即sin α>cos α>0．又α∈．］
13．120° 2 ［由题得a2＝9，b2＝2，∴a＝3，c2＝a2－b2＝9－2＝7，∴c＝．∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2．∴cos∠F1PF2＝＝，又0<∠F1PF2<180°，∴∠F1PF2＝120°．
又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2)2＝28，配方得(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝28，
∴36－2|PF1||PF2|＝28，即|PF1||PF2|＝4，∴|PF1||PF2|＝2．］
14．，过点P作PM垂直x轴于M(图略)，设|OM|＝t，则|FM|＝2－t，由勾股定理知，|PM|2＝|OP|2－|OM|2＝|PF|2－|FM|2，即(2－t)2，解得t＝，∴|PM|＝，
∴点P的坐标为，设椭圆的方程为＝1，又a2＝b2＋c2＝b2＋20，∴a2＝36，b2＝16，∴椭圆的标准方程为＝1．］
15．解：(1)依题意，知c2＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，所以a2－a2＝1，所以a2＝4，b2＝3，故椭圆的标准方程为＝1．
(2)由于点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4．又|PF1|－|PF2|＝1，所以|PF1|＝．故∠F1PF2的余弦值等于．
3 / 3课时分层作业(十三) 椭圆的标准方程
一、选择题
1．“a＞0，b＞0”是“方程ax2＋by2＝1表示椭圆”的( )
A．充要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知椭圆＝1的一个焦点为F(－，0)，则这个椭圆的方程是( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
3．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|＝2|F1F2|－|PF2|，则椭圆C的标准方程为( )
A．＝1
B．＝1或＝1
C．＝1
D．＝1或＝1
4．设F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于( )
A．5 B．4
C．3 D．1
5．已知P为椭圆＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5 B．7
C．13 D．15
二、填空题
6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________．
7．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4，0)，B(4，0)，点C在椭圆＝1上，则＝________．
8．已知P是椭圆＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，则△F1PF2的面积是________．
三、解答题
9．(源自北师大版教材)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0，－2)，F2(0，2)，并且经过点P，求椭圆的标准方程．
10．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．求C的方程．
11．(多选题)下列说法中错误的是( )
A．已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B．已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．平面内到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D．平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆
12．若α∈0，，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是( )
A． B．0，
C．0， D．
13．已知椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2＝______________________________．若∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是________．
14．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的标准方程为________．
15．已知椭圆＝1(a＞b＞0)的焦点分别是，F2(0，1)，且3a2＝4b2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．
