课时分层作业(十四)
1．D ［将椭圆方程化为标准形式为x2＋＝1，所以长轴长为2，短轴长为2，
由题意得2＝2×2，解得m＝4．］
2．D ［由25－9＝(25－k)－(9－k)知，两椭圆有相等的焦距．］
3．B ［易知b2＋1>1，由题意得(舍去)，故选B．］
4．A ［设椭圆右焦点为F'(图略)，由椭圆的对称性，知|P1F|＝|P7F'|，|P2F|＝|P6F'|，|P3F|＝|P5F'|，所以原式＝(|P7F|＋|P7F'|)＋(|P6F|＋|P6F'|)＋(|P5F|＋|P5F'|)＋|P4F|＝7a＝35．］
5．B ［由题意，a2＝4，b2＝3，故c＝＝1．不妨设M(1，y0)，N(1，－y0)，所以＝1，解得y0＝±，所以|MN|＝3，|OM|＝|ON|＝．由余弦定理知cos∠MON＝＝．］
6． ［如图，AB＝2c＝4，∵点C在椭圆上，∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，∴e＝．］
7．，∴5a2－5b2＝a2，即4a2＝5b2．
设椭圆的标准方程为＝1(a>0)，∵椭圆过点P(－5，4)，∴＝1．
解得a2＝45．∴椭圆的标准方程为＝1．］
8．4，3 ［过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入＝3．］
9．解：(1)由已知2a＝12，e＝，得a＝6，c＝4，从而b2＝a2－c2＝20．所以椭圆的标准方程为＝1．
(2)由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，于是有b＝6，a＝8．又因为短轴、长轴分别在x轴和y轴上，所以椭圆的标准方程为＝1．
10．解：根据椭圆的对称性，不妨设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)，焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0)．依题意设点A的坐标为．由△ABF2是正三角形，得2c＝b2＝2ac．又因为b2＝a2－c2，所以(负值舍去)．
11．ABC ［根据曲线的对称性，可知四边形ABCD为正方形，选项A正确；
联立椭圆方程可得A，正方形ABCD的面积为3，所以阴影部分的面积大于3，选项B正确；
由直线x＝±1，y＝±1 围成的正方形的面积为4，所以阴影部分的面积小于4，选项C正确；四边形ABCD的外接圆方程为x2＋y2＝，选项D错误．］
12．B ［因为离心率e＝a2，A1，A2分别为C的左、右顶点，则A1(－a，0)，A2(a，0)，B为上顶点，所以B(0，b)．所以＝－1，所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入，解得a2＝9，b2＝8，故椭圆C的方程为＝1．
故选B．］
13．＝1 ［0，12］ ［因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a＝2．因为离心率e＝，则椭圆的方程为＝1，所以点A的坐标为(－2，0)，点F的坐标为(－1，0)．设P(x，y)，则＝(x＋2，y)·(x＋1，y)＝x2＋3x＋2＋y2．由椭圆的方程，得y2＝3－x2，所以(x＋6)2－4．因为x∈［－2，2］，所以∈［0，12］．］
14． ［(1)由已知可得A(－6，0)，B(6，0)，F(4，0)，设点P的坐标是(x，y)，则＝(x－4，y)．由已知得则2x2＋9x－18＝0，解得x＝或x＝－6．由于y>0，所以只能取x＝．所以点P的坐标是．
(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0．设点M的坐标是(m，0)，则M到直线AP的距离是，又B(6，0)，于是＝|m－6|，又－6m6，解得m＝2，
设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，有d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2
＝＋15，由于－6x6，所以当x＝．］
15．解：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1．因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义，得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8．故|AF2|＝8－3＝5．
(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k．由椭圆定义，得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k．在△ABF2中，由余弦定理，得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)．化简得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k．于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k．因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形．从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝．
3 / 3课时分层作业(十四) 椭圆的几何性质
一、选择题
1．已知椭圆x2＋my2＝1的焦点在x轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m＝( )
A． B．
C．2 D．4
2．椭圆＝1与＝1(0A．有相等的长轴 B．有相等的短轴
C．有相同的焦点 D．有相等的焦距
3．已知椭圆x2＋＝1(b＞0)的离心率为，则b等于( )
A．3 B．
C． D．
4．如图所示，把椭圆＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝( )
A．35 B．30
C．25 D．20
5．已知O是坐标原点，F是椭圆＝1的一个焦点，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于M，N两点，则cos ∠MON的值为( )
A． B．－
C． D．－
二、填空题
6．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C，D的椭圆的离心率为________．
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5，4)，则椭圆的标准方程为________．
8．过椭圆＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________．
三、解答题
9．(源自北师大版教材)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为；
(2)经过点P(－6，0)和Q(0，8)．
10．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．
11．(多选题)如图，椭圆C1：＋y2＝1和C2：＋x2＝1的交点依次为A，B，C，D．则下列说法正确的是( )
A．四边形ABCD为正方形
B．阴影部分的面积大于3
C．阴影部分的面积小于4
D．四边形ABCD的外接圆方程为x2＋y2＝2
12．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＋y2＝1
13．已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左焦点为F，若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e＝，则椭圆的标准方程是________．若点P为椭圆上任意一点，则·的取值范围是________．
14．已知点A，B分别是椭圆＝1的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．则点P的坐标为________；设M是椭圆长轴AB上的一点，且M到直线AP的距离等于|MB|，则椭圆上的点到点M的距离d的最小值________．
15．设F1，F2分别是椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|．
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos ∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
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