课时分层作业(十五) 椭圆的标准方程及性质的应用
一、选择题
1．若直线y＝kx＋2与椭圆＝1相切，则斜率k的值是( )
A． B．－
C．± D．±
2．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为( )
A． B．
C． D．
3．在椭圆＝1内，过点M(1，1)且被该点平分的弦所在的直线方程为( )
A．9x－16y＋7＝0 B．16x＋9y－25＝0
C．9x＋16y－25＝0 D．16x－9y－7＝0
4．椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
5．已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
二、填空题
6．椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是________．
7．设F1，F2分别为椭圆C：＝1的左、右两个焦点，过F1作斜率为1的直线，交C于A，B两点，则|AF2|＋|BF2|＝________．
8．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则||＝________．
三、解答题
9．设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点．
(1)求实数b的取值范围；
(2)当b＝1时，求AB．
10．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N．
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求实数k的值．
11．(多选题)已知曲线C的方程为x2＋＝1(0＜x1)，A(0，－3)，B(0，3)，D(－1，0)，点P是C上的动点，直线AP与直线x＝5交于点M，直线BP与直线x＝5交于点N，则△DMN的面积可能为( )
A．73 B．76
C．68 D．72
12．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，过F作一条倾斜角为60°的直线与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB的中点，若3|FM|＝|OF|(O为坐标原点)，则椭圆C的离心率为( )
A． B．
C． D．
13．已知椭圆＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝，则椭圆方程为________，若直线l交椭圆于M，N两点，且△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则直线l方程为________．
14．已知椭圆C：＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是______．
15．(15分)设椭圆＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，下顶点为B，过A，O，B(O为坐标原点)三点的圆的圆心坐标为．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN＝60°，求点M的坐标．课时分层作业(十五)
1．C ［把y＝kx＋2代入
．］
2．B ［易求得直线AB的方程为y＝)．由．由弦长公式，得|AB|＝．］
3．C ［设弦的两个端点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则有＝1，两式相减，又x1＋x2＝y1＋y2＝2，因此＝0，即，
所求直线的斜率是－，弦所在的直线方程是y－1＝－(x－1)，即9x＋16y－25＝0，故选C．］
4．A ［已知A(－a，0)，设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)，则kAP＝，故kAP·kAQ＝，又，
所以，所以椭圆C的离心率e＝．故选A．］
5．D ［设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率k＝
两式相减，得＝0，即＝0，即a2＝2b2，又c2＝9，a2＝b2＋c2，解得a2＝18，b2＝9，则E的方程为＝1．故选D．］
6．得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则x0＝，y0＝1－x0＝1－．
∴kOP＝．］
7．＝1，得3x2＋4(x＋1)2＝12，即7x2＋8x－8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝－
．由定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，所以|AF2|＋|BF2|＝4×2－．］
8． ［设点A(2，n)，B(x0，y0)．由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，∴c2＝1，即c＝1，∴右焦点F(1，0)．由，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．∴1＝3(x0－1)且n＝3y0．∴x0＝n．将x0，y0代入＋y2＝1，得＝1．解得n2＝1，∴|．］
9．解：(1)将y＝x＋b代入＋y2＝1，消去y并整理，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0．①
因为直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2>0，解得－．所以b的取值范围为(－)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0．解得x1＝0，x2＝－．所以y1＝1，y2＝－．所以AB＝．
10．解：(1)由题意得解得c＝，所以椭圆C的方程为＝1．
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，
所以|MN|＝|x1－x2|＝＝，
又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝，由，化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1．
11．ABD ［设P(x0，y0)，kPA＝，则kPA·kPB＝＝－9．设kPA＝k(k>0)，则kPB＝－，直线AP的方程为y＝kx－3，则点M的坐标为(5，5k－3)，直线PB的方程为y＝－x＋3，则点N的坐标为，
∴|MN|＝＝＝24，当且仅当5k＝，即k＝3时等号成立．从而△DMN面积的最小值为×24×6＝72．结合选项可得，△DMN的面积可能为ABD．］
12．B ［设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
由题意得＝0，因为M为线段AB的中点，且直线AB的倾斜角为60°，所以＝0．
设F(－c，0)，则|FM|＝c，过M作MM'⊥x轴，垂足为M'，则|FM'|＝c，由题易知M位于第二象限，所以M，M的坐标代入AB的方程可得：＝0，得3a2＝5b2，所以2a2＝5c2，
所以e＝．］
13．
＝，解得a2＝20．
∴椭圆的方程为＝1．
∴椭圆右焦点F的坐标为(2，0)，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知，从而(2，－4)＝2(x0－2，y0)，解得x0＝3，y0＝－2，所以点Q的坐标为(3，－2)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，且＝1，以上两式相减，得＝0，∴kMN＝，故直线的方程为y＋2＝(x－3)，即6x－5y－28＝0．］
14．13 ［∵椭圆的离心率为e＝，∴a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2，
∴椭圆的方程为＝1，即3x2＋4y2－12c2＝0，不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示，∵|AF2|＝a，|OF2|＝c，a＝2c，∴∠AF2O＝，∴△AF1F2为正三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF2的垂直平分线，∴直线DE的斜率为cy－9c2＝0，判别式Δ＝(6 c)2＋4×13×9c2＝62×16×c2，∴|DE|＝＝6，∴c＝，∵DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，∴△ADE的周长等于△F2DE的周长，利用椭圆的定义得到△F2DE的周长为|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DF1|＋|EF1|＝|DF1|＋|DF2|＋|EF1|＋|EF2|＝2a＋2a＝4a＝13．］
15．解：(1)依题意知A(a，0)，B(0，－b)，∵△AOB为直角三角形，∴过A，O，B三点的圆的圆心为斜边AB的中点，∴，b＝1，
∴椭圆的方程为＋y2＝1．
(2)由(1)知B(0，－1)，依题意知直线BN的斜率存在且小于0，设直线BN的方程为y＝kx－1(k<0)，则直线BM的方程为y＝－x－1，由消去y，得(1＋3k2)x2－6kx＝0，解得xN＝，yN＝kxN－1，∴|BN|＝＝，在y＝－x－1中，令y＝0得x＝－k，即M(－k，0)，∴|BM|＝，在Rt△MBN中，∵∠BMN＝60°，∴|BN|＝|BM|，即，整理得3k2－2|k|＋1＝0，解得|k|＝．
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